■3次曲面上の27本の直線(その57)

[1]一般に単体においては

  cosδ=1/n

  cosρ=cos(δ/2)={(1+cosδ)/2}^1/2

 ={(1+1/n)/2}^1/2

n=8のとき,cosρ=3/4

δ=arccos(1/n)

ρ=1/2・arccos(1/n)

[2]一般に正軸体においては

  cosδ=−(n−2)/n

  cosσ=cos(δ/2)={(1+cosδ)/2}^1/2

 ={(1−(n−2)/n)/2}^1/2

 =(1/n)^2

n=8のとき,cosσ=1/2√2

σ=arccos(1/√n)

δ=2arccos(1/√n)

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 このことから,α8+2β8の二面角について

 arccos(3/4)+2arccos(1/√8)

=arccos(3/4)+arccos(−3/4)

=0

 すなわち,n=8では

  δs+2δc=2π

  ρ+2σ=π

 このことは,n=8のとき,cosρ=3/4,cosσ=1/2√2は

  E9=E8~

であることを意味している.

 したがって,421多面体,521格子が限界である(8次元の特殊性).

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