【２】ケイリー整数とＥ8格子

　８次元のこの格子（Ｅ8格子と呼ばれる）の格子点はおおざっぱにいうと，次のような点から成り立ちます．

　　1)座標がすべて整数値の点

　　2)座標がすべて半整数値の奇数倍の点

　　3)４個が整数値，４個が半整数値の奇数倍の点

　ただし，3)においてその４個は全８個からの４個の組み合わせ8Ｃ4＝７０組のうち，特定の１４組に限る．具体的には実数部をｅ0，虚数部をｅ1−ｅ7とするとき，ｅi，ｅj，ｅkのうち積の結合法則ｅi・（ｅj・ｅk）＝（ｅi・ｅj）・ｅkがが成立する（ｉ，ｊ，ｋ）の３つ組が７組あり，その組に実数の０番を加えた（０，ｉ，ｊ，ｋ）７組とその補集合７組の合計１４組とする．

　「八元整数」を作るにはこのままでは不備がありますが，充填図形としてはこのままで問題ありません．たとえば，最近距離１の格子点には

　　（±１，０，・・・・・，０）の置換１６個

　　（±１／２，±１／２，±１／２，±１／２，０，・・・，０）の型１４×１６＝２２４個，合計２４０個．

　次の距離√２の格子点は

　　（±１，±１，０，・・・・・，０）の置換8Ｃ2×２^2＝１１２個

　　（±１／２，±１／２，±１／２，±１／２，±１，０，・・・，０）の型１４×１６×４×２＝１７９２個

　　（±１／２，±１／２，±１／２，±１／２，０，・・・，±１／２）の型２^8＝２５６個，合計２１６０個＝２４０・（１^3＋２^3）個となります．

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