【１】８次元正単体α8と正軸体β8による空間充填形

　二胞角は正単体α8がａｒｃｃｏｓ１／８（８２°ほど），正軸体がａｒｃｃｏｓ−３／４（１３９°ほど）で，

　　ａｒｃｏｃｓ（１／４）＋２×ａｒｃｏｃｓ（−３／４）＝２π

になります．超立方体γ8の９０°とは直接関係なさそうです．

　この充填形では各頂点に１７２８０個の正単体と２１６０個の正軸体が相会しています．実はこの充填形は個々の素片を並べて考えるよりも，対局的に八元整数（ケイリー数の整数）全体のなす格子点をうまく結ぶと，この形の充填形ができることを明記したのが，コクセターの論文：

　　Integral Cayley Numbers

　　Duke Mathematical Journal, 13(4), 1946

です．彼の選集

　　Twelve Geometric Essays (Southern Illinois Univ Press, 1968

に再録されています．

　八元数の表現はいろいろの流儀があり，コンウェイの本「四元数と八元数」（培風館）の記号とも違います．そして内容は大半が八元数の代数的な話ですが，目標は"not easy to prove"という命題：

　　任意のケイリー数Ｘに対して，ノルム（距離の２乗）：Ｎ（Ｘ−Ｇ）≦１／２であるケイリー整数Ｇがある

　これは長らく懸案の課題でしたが，コクセターが図形的に，八元整数全体のなす格子は８次元の正軸体と正単体による空間充填形になっていることを示したので，上記の命題はほぼ自明の事実になりました．「抽象数学」の全盛時代に図形的直観が難問をあっさり解決した例として，当時評判になったようです．

　この格子で特定の１点（原点）からの距離が√ｎである格子点の個数が

　　２４０σ3（ｎ）　　　（ｎの約数全体の３乗の和）

であることや８次元の球の最密充填が１点のまわりに２４０個で，それがこの形の格子で実現される（しかも本質的に一通り）などもわかっております．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝