ブジョー・ミニョット・シクセクの定理

フィボナッチ数のうち、N^mの形のものは０，a1=a2=１，a6=８，a12=１４４のみである。no

これはフェルマー予想と同様の方針で証明されたとのことである

一方、１を除くと８はフィボナッチ数の中でただ一つの立方数、１４４はただ一つの平方数です。これは初等的手法による証明とのことである

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フィボナッチ数列

f(x)=(x)/(1-x-x^2)=(1/√5)/(1-αx)-(1/√5)/(1-βx)

α=(1+√5)/2、β=(1-√5)/2,αβ=-1,α^2+β^2=3、β=-1/α

Fn=1/√5・{α^n-β^n}

　a0=0,a1=1,a2=1

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リュカ数列の漸化式は

　a0=2,a1=1,a2=3

an=an-1+an-2 (n≧2)

f(x)=(2-x)/(1-x-x^2)=(1)/(1-αx)+(1)/(1-βx)

α=(1+√5)/2、β=(1-√5)/2

Ln={α^n+β^n}

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5(Fn)^2-(Ln)^2=4(-1)^n+1

5(Fn)^2-(Ln)^2=α^2n+β^2n-2(αβ)^n-α^2n-β^2n-2(αβ)^n

＝-4(αβ)^n==4(-1)^(n+1)

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　フィボナッチ数列の第１２項は１４４＝１２^2である．（自明な１は別にすると）フィボナッチ数でかつ平方数となることが知られている唯一の数である．

　このタイプの数ｎ^2が他にあるとすると，それはフィボナッチ数列の第ｎ項になっていることが知られている．

　　ｆn＝ｎ^2

　　ｆ12＝１４４

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［１］Ｆ12＝１４４＝１２^2は唯一の自明でないフィボナッチ平方数である（ユンゲレン，１９５１年）．

［２］Ｆ6＝８＝２^3は唯一の自明でないフィボナッチ立方数である（ロンドン，フィンケルシュタイン，１９６９年）．

［３］フィボナッチ累乗数は０，１，８，１４４だけである（ブジョー，ミニョット，シクセク，２００８年）．

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ブジョー・ミニョット・シクセクの定理

フィボナッチ数のうち、N^mの形のものは０，a1=a2=１，a6=８，a12=１４４のみである。no

これはフェルマー予想と同様の方針で証明されたとのことである

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