■ディオファントス・モーデル・マチアセビッチ(その27)

ブジョー・ミニョット・シクセクの定理

フィボナッチ数のうち、N^mの形のものは0,a1=a2=1,a6=8,a12=144のみである。no

これはフェルマー予想と同様の方針で証明されたとのことである

一方、1を除くと8はフィボナッチ数の中でただ一つの立方数、144はただ一つの平方数です。これは初等的手法による証明とのことである

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フィボナッチ数列

f(x)=(x)/(1-x-x^2)=(1/√5)/(1-αx)-(1/√5)/(1-βx)

α=(1+√5)/2、β=(1-√5)/2,αβ=-1,α^2+β^2=3、β=-1/α

Fn=1/√5・{α^n-β^n}

 a0=0,a1=1,a2=1

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リュカ数列の漸化式は

 a0=2,a1=1,a2=3

an=an-1+an-2 (n≧2)

f(x)=(2-x)/(1-x-x^2)=(1)/(1-αx)+(1)/(1-βx)

α=(1+√5)/2、β=(1-√5)/2

Ln={α^n+β^n}

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5(Fn)^2-(Ln)^2=4(-1)^n+1

5(Fn)^2-(Ln)^2=α^2n+β^2n-2(αβ)^n-α^2n-β^2n-2(αβ)^n

=-4(αβ)^n==4(-1)^(n+1)

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 フィボナッチ数列の第12項は144=12^2である.(自明な1は別にすると)フィボナッチ数でかつ平方数となることが知られている唯一の数である.

 このタイプの数n^2が他にあるとすると,それはフィボナッチ数列の第n項になっていることが知られている.

  fn=n^2

  f12=144

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[1]F12=144=12^2は唯一の自明でないフィボナッチ平方数である(ユンゲレン,1951年).

[2]F6=8=2^3は唯一の自明でないフィボナッチ立方数である(ロンドン,フィンケルシュタイン,1969年).

[3]フィボナッチ累乗数は0,1,8,144だけである(ブジョー,ミニョット,シクセク,2008年).

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ブジョー・ミニョット・シクセクの定理

フィボナッチ数のうち、N^mの形のものは0,a1=a2=1,a6=8,a12=144のみである。no

これはフェルマー予想と同様の方針で証明されたとのことである

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