（２）モーデル・ファルティングスの定理をフェルマー曲線に応用すると・・・

　フェルマー生を持つことを証明するために、ゼータ関数のオイラー積表示

　　Π（１−１/ｐ）

とζ（１）＝∞であることより 　　Π（１−１/ｐ）＝０

　よって、任意の０＜ε＜１にたいして、５以上の素数列｛ｐ1、ｐ2、・・・、ｐs｝が存在して

　　（１−１/ｐ1）（１−１/ｐ2）・・・（１−１/ｐs）＜ε/４

となることが用いられている。

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　素数が無限に存在すること・√２が無理数であることは，ギリシア数学のなかでも有名な定理です．それぞれユークリッドとピタゴラスが背理法を用いて証明していますが，その証明はだれしもが容易に理解できるものです．同様に，調和級数Σ（１／ｎ）が無限大に発散すること

　　１／１＋１／２＋１／３＋・・・＝∞

も容易に示すことができました．

　それでは，素数の逆数の和

　　Σ（１／ｐ）＝１／２＋１／３＋１／５＋１／７＋１／１１＋・・・

は有限でしょうか？

（証明）

　調和級数１／１＋１／２＋１／３＋・・・は，オイラー積表示すると

　　Π（１−１／ｐ）^-1

と書けますから，

　　Π（１−１／ｐ）^-1〜∞．

　調和級数（自然数の逆数の和）が発散することはよく知られている．それどころか，素数の逆数の和だけでさえ発散する．

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