アルベロスの円列の中心は楕円上にあることが知られている。メビウス変換を使ってその軌跡を求めてみたい。

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【３】シュタイナーの円

　シュタイナーは反転法によって，鎖の間の連結する小円の半径やはじめの２つの円の中心間距離などの条件を求めた．

　メビウス変換

　　ｗ＝（ｚ＋ａ）／（ａｚ＋１）

したがって，ｗ＝０に写されるのはｚ＝−ａ．ｚ→∞に対する極限は１／ａ．ｚ→−１／ａに対する極限は∞．すなわち，ｚ＝−ａは０に写り，ｚ＝−１／ａは∞に写る．ゆえに，ｗ平面の原点を通る直線はｚ＝−ａとｚ＝−１／ａを通る円の像である（−１＜ａ＜０）．

　円の中心は，ｘ＝−（ａ＋１／ａ）／２上にあるから，

　　（ｘ＋（ａ＋１／ａ）／２）^2＋（ｙ−ｙ0）^2＝｛（ａ−１／ａ）／２｝^2＋ｙ0^2

　また，その逆変換は

　　ｚ＝（−ｗ＋ａ）／（ａｗ−１）

であるから，ｚ＝０に写されるのはｗ＝ａである．ｗ→∞に対する極限は−１／ａ．ｗ→１／ａに対する極限は∞．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　他方，原点を中心とする同心円｜ｗ｜＝ｋは

　　｜（ｚ＋ａ）／（ａｚ＋１）｜＝ｋ

で定義される円の像である．これはｚ＝−ａとｚ＝−１／ａの２点を極限点とするアポロニウスの円である．つまり，ｚ＝−ａとｚ＝−１／ａの２点からの距離の比が一定な点の軌跡である．

　　｜（ｚ＋ａ）／（ａｚ＋１）｜＝｜（ｚ＋ａ）｜／｜（ａｚ＋１）｜＝｜（ｚ＋ａ）｜／｜ａ｜｜（ｚ＋１／ａ）｜＝ｋ

より，２点

　　（−ａ，０），（−１／ａ，０）

からの距離の比が｜ａ｜ｋ：１のアポロニウスの円となる．

　　（ｘ＋ａ）^2＋ｙ^2：（ｘ＋１／ａ）^2＋ｙ^2＝ａ^2ｋ^2：１

　　（ｘ−ａ（１−ｋ^2）／（１−ａ^2ｋ^2））^2＋ｙ^2＝｛ｋ^2（１−ａ^2ｋ^2）＋ａ^2（１−ｋ^2）^2｝／（１−ａ^2ｋ^2）^2

　こうして，ｗ＝０を通る直線は（ｙ軸に平行な直線上に中心をもつ）ｚ＝−ａ，ｚ＝−１／ａを通る円に，｜ｗ｜＝ｋはその円に直交する円となる．このような円の族が作る図形を２点−ａと−１／ａで決まるシュタイナーの円という．

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【４】同心円への帰着

　簡単にするため，

　　大円（半径１），小円（半径ｒ），中心間距離ｄ

最初の２円の直径端と中心がそれぞれ

　　［−１，０，１］，［α，（α＋β）／２），β］　　　（α＋β＞０）

にあると仮定しても一般性は失われない．

　　１＝（ａ＋ｂ）／（ｃ＋ｄ）

　　−１＝（−ａ＋ｂ）／（−ｃ＋ｄ）

　　α＝ｂ／ｄ

を解くと

　　ｗ＝（ｚ＋α）／（αｚ＋１）

は半径１の円板をそれ自身に移し，［−１，０，１］はそれぞれ［−１，α，１］に移されることがわかる．（円板の中心が円板の中心に移されるわけではない）．

　このとき，［α，β］が［−ｒ，ｒ］に移されるためには，

　　（α＋ａ）／（ａα＋１）＝−（β＋ａ）／（ａβ＋１）

より，ａに関する２次方程式

　　ａ^2＋２ａ（１＋αβ）／（α＋β）＋１＝０　　　（−１＜ａ＜０）

に帰着される．

　　ａ＝｛−（１＋αβ）±｛（１−α^2）（１−β^2）｝^1/2｝／（α＋β）

　　ｒ＝｜（α＋ａ）／（ａα＋１）｜＝｜（β＋ａ）／（ａβ＋１）｜

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【５】閉包条件

　これで半径ｒが求まった（Ｒ＝１）．（（１＋ｒ）／２，０）を中心とした半径（１−ｒ）／２の円が描けることから，１周して鎖が閉じるための条件は，

　　２ａｒｃｓｉｎ（（１−ｒ）／（１＋ｒ））

が２πの整数分の１のときである．

　ｎ個の円で１周するならば，

　　２ａｒｃｓｉｎ（（１−ｒ）／（１＋ｒ））＝２π／ｎ

　　（１−ｒ）／（１＋ｒ）＝ｓｉｎ（π／ｎ）

　　ｒ＝（１−ｓｉｎ（π／ｎ））／（１＋ｓｉｎ（π／ｎ））

で与えられる．

　あるいは，ｎ個の円で１周するならば，（（Ｒ＋ｒ）／２，０）を中心とした半径（Ｒ−ｒ）／２の円が描けることから，

　　（Ｒ＋ｒ）／２：（Ｒ＋ｒ）／２＝１：ｓｉｎ（π／ｎ）

　　Ｒ＝ｒ（１＋ｓｉｎ（π／ｎ））／（１−ｓｉｎ（π／ｎ））

で与えられるとしてもよい．

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【６】オイラー・フース型定理の導出

　メビウス変換

　　ｗ＝（ｚ＋ａ）／（ａｚ＋１）

の逆変換は

　　ｚ＝（−ｗ＋ａ）／（ａｗ−１）

である．

　　ｓ＝（１−ｓｉｎ（π／ｎ））／（１＋ｓｉｎ（π／ｎ））

とおくと，

　　α＝−（ｓ＋ａ）／（ａｓ＋１）

　　β＝（−ｓ＋ａ）／（ａｓ−１）

である．

　これからｓを消去する．第１式より

　　ａ＝−（ｓ＋α）／（αｓ＋１）

第２式に代入すると

　　β＝（ｓ（αｓ＋１）＋（ｓ＋α））／（ｓ（ｓ＋α）＋（αｓ＋１））

　　β（２αｓ＋ｓ^2＋１）−α（ｓ^2＋１）＝２ｓ

　　２αβｓ＋（β−α）（ｓ^2＋１）＝２ｓ

　ここで，

　　（α＋β）／２＝ｄ，（β−α）／２＝ｒ

より，

　　α＝ｄ−ｒ，β＝ｄ＋ｒ

を代入すると

　　ｄ^2−ｒ^2＋ｒ（ｓ＋１／ｓ）＝１

　　ｄ^2＝ｒ^2−ｒ（ｓ＋１／ｓ）＋１

　　大円（半径Ｒ），小円（半径ｒ），中心間距離ｄ

では

　　ｄ^2＝ｒ^2−ｒＲ（ｓ＋１／ｓ）＋Ｒ^2

これがシュタイナーの定理に対応するオイラー・フース型定理である．

　もし，ｄ＝０ならば

　　（ｒ−ｓＲ）（ｒ−Ｒ／ｓ）＝０

となるが，ｒ＝Ｒ／ｓは大円と小円が逆転するのでｒ＝ｓＲ．また，ｓ＜１／ｓより，ｒはｄ＝０のとき最大値ｓＲをとる．

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