アルベロスの円列の中心は楕円上にあることが知られている。メビウス変換を使ってその軌跡を求めてみたい。

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【１】メビウス変換の不動点

　この変換の不動点は

　　ｚ＝（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ）

　これは２次方程式

　　ｃｚ^2＋（ｄ−ａ）ｚ−ｂ＝０

だから，一般には２根

　　ｚ＝｛（ａ−ｄ）±√（（ｄ−ａ）^2＋４ｂｃ）｝／２ｃ

をもつ．

　ｃ＝０のとき不動点のひとつは∞である．不動点がひとつに重なってしまうための条件は

　　Ｄ＝（ａ−ｄ）^2＋４ｂｃ＝（ａ＋ｄ）^2−４ａｄ＋４ｂｃ＝０

である．

　もし，変換

　　Ｔ＝［ａ，ｂ］

　　　　［ｃ，ｄ］

が，ａｄ−ｂｃ＝１と正規化されているとすると

　　Ｄ＝（ａ−ｄ）^2＋４ｂｃ＝（ａ＋ｄ）^2−４＝０

ＴｒＴ＝ａ＋ｄより，

　　Ｄ＝（ａ−ｄ）^2＋４ｂｃ＝（ＴｒＴ）^2−４＝０

　　ｚ＝｛（ａ−ｄ）±√（（ＴｒＴ）^2−４）｝／２ｃ

になる．

　Ｄ＞０で，相異なる２根ａ，ｂをもつときは

　　（ｗ−ａ）／（ｗ−ｂ）＝ｋ（ｚ−ａ）／（ｚ−ｂ）

という形に書ける（ａ，ｂで決まるシュタイナーの円）．

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