オイラー・フースの定理を拡張する方向としては、ひとつには双心ｎ角形のｎを大きくすること，もうひとつには凸ｎ角形の星形化を考えることである．前者はｎ＝８まで解決済みであるが，後者すなわち星形ｎ角形に対してもオイラー・フースもどきの定理は成り立つだろうか？　通例のｎ角形に対して，１頂点から始めてｍ個おきの頂点を結んでできる図形を星形ｎ／ｍ角形という．

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【１】ポンスレーの定理と楕円積分

　ポンスレーの定理では楕円積分に帰着させる微分積分学的な証明が知られている．ベルトラン・ヤコビの証明である．

　∫(φ,φ+π)ｄθ／（１−ｋ^2ｓｉｎ^2θ）^1/2＝ｎω

披積分関数は周期πの周期関数であるからφの値に依存しない．したがって，最初の点Ｐ0をどこに選ぼうとも完全な多角形環をなすというわけである．

　この証明は周期２πは初期位置に依存しないというものであって，ｍ回転後に初期位置に戻ってくるのであれば，周期２ｍπの楕円積分に置き換えればよい．すなわち，ポンスレーの定理は星形ｎ／ｍ角形に対しても成り立つと思われる．本当だろうか？

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【２】ｎ＝５の星形化（星形５／２角形）

　内接円の中心を原点にとる．外接円との交点をＡ（ｘ1，ｒ），Ｂ（ｘ2，ｙ2），Ｃ（０，Ｒ＋ｄ）とすると，

　　ｘ1ｃｏｓθ＋ｒｓｉｎθ＝ｒ

　　ｘ2ｃｏｓθ＋ｙ2ｓｉｎθ＝ｒ

　　ｘ2ｃｏｓφ＋ｙ2ｓｉｎφ＝ｒ

　　（Ｒ＋ｄ）ｓｉｎφ＝ｒ

　また，外接円の中心Ｏ（０，ｄ）と点Ａ，点Ｂとの距離の２乗はＲ^2となることより

　　ｘ1^2＋（ｒ−ｄ）^2＝Ｒ^2

　　ｘ2^2＋（ｙ2−ｄ）^2＝Ｒ^2

　θとφを消去するにはどうしたらよいか？　まず，（その１）に掲げた双心五角形の場合，すなわち，内接円の中心を原点にとる．外接円との交点をＡ（ｘ1，−ｒ），Ｂ（ｘ2，ｙ2），Ｃ（０，Ｒ＋ｄ）とすると，

　　ｘ1ｃｏｓθ−ｒｓｉｎθ＝ｒ

　　ｘ2ｃｏｓθ＋ｙ2ｓｉｎθ＝ｒ

　　ｘ2ｃｏｓφ＋ｙ2ｓｉｎφ＝ｒ

　　（Ｒ＋ｄ）ｓｉｎφ＝ｒ

　また，外接円の中心Ｏ（０，ｄ）と点Ａ，点Ｂとの距離の２乗はＲ^2となることより

　　ｘ1^2＋（ｒ＋ｄ）^2＝Ｒ^2

　　ｘ2^2＋（ｙ2−ｄ）^2＝Ｒ^2

と比較してみてほしい．正負符号が一部で逆転するだけである．

　双心五角形の基底は，

　　ｄ^6−２ｄ^4ｒＲ＋８ｄ^2ｒ^3Ｒ−３ｄ^4Ｒ^2−４ｄ^2ｒ^2Ｒ^2＋４ｄ^2ｒＲ^3＋３ｄ^2Ｒ^4＋４ｒ^2Ｒ^4−２ｒＲ^5−Ｒ^6＝０

であるが，ｒ→−ｒとおくとｒの奇数乗の項で正負が逆転し，星形双心五角形の基底は，

　　ｄ^6＋２ｄ^4ｒＲ−８ｄ^2ｒ^3Ｒ−３ｄ^4Ｒ^2−４ｄ^2ｒ^2Ｒ^2−４ｄ^2ｒＲ^3＋３ｄ^2Ｒ^4＋４ｒ^2Ｒ^4−２ｒＲ^5＋Ｒ^6＝０

となる．

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