【２】リンク機構とグレブナー基底

　複数の棒を互いに結合してできる連接棒を「リンク装置」と呼びます．連接棒の一点を直線や曲線に沿って動かすとき，複雑な変化のある曲線を描くことができます．たとえば，ジェームズ・ワットのリンケージは蒸気エンジンのピストンロッドなどに実用化されています．また，ポースリエの反転器は円運動を直線運動に，直線運動を円運動に変換する機構で，リンク装置の用途は多方面にわたっています．

　ところで，連結クランク上の点の軌跡は，一般的な形の多項式

　　ｆ（ｘ）＝ｃ＋Σｒiｃｏｓ（δi）

　　ｇ（ｙ）＝ｃ＋Σｒiｓｉｎ（δi）

に書き換えることができますが，これを数式処理ソフトのグレブナー基底計算プログラムを用いて，代数曲線φ（ｘ，ｙ）＝０として表すことができます．

　ここでは，平面上で回転できる関節を考えましたが，さらに，回転と同時に伸縮も可能な関節を考えます．すると，オイラー・フースの定理の拡張版は，連立方程式

　　ｘiｃｏｓθi＋ｙiｓｉｎθi＝ｃi　　　（ヘッセの標準形）

　　ｘi^2＋（ｙi−ｃi）^2＝γi^2

のグレブナー基底を計算することによって得られることがわかります．

［１］ｎ＝５の場合

　内接円の中心を原点にとる．外接円との交点をＡ（ｘ1，−ｒ），Ｂ（ｘ2，ｙ2），Ｃ（０，Ｒ＋ｄ）とすると，

　　ｘ1ｃｏｓθ−ｒｓｉｎθ＝ｒ

　　ｘ2ｃｏｓθ＋ｙ2ｓｉｎθ＝ｒ

　　ｘ2ｃｏｓφ＋ｙ2ｓｉｎφ＝ｒ

　　（Ｒ＋ｄ）ｓｉｎφ＝ｒ

　また，外接円の中心Ｏ（０，ｄ）と点Ａ，点Ｂとの距離の２乗はＲ^2となることより

　　ｘ1^2＋（ｒ＋ｄ）^2＝Ｒ^2

　　ｘ2^2＋（ｙ2−ｄ）^2＝Ｒ^2

［２］ｎ＝６の場合

　内接円の中心を原点にとる．外接円との交点をＡ（ｘ1，−ｒ），Ｂ（ｘ2，ｙ2），Ｃ（ｘ3，ｒ）とすると，

　　ｘ1ｃｏｓθ−ｒｓｉｎθ＝ｒ

　　ｘ2ｃｏｓθ＋ｙ2ｓｉｎθ＝ｒ

　　ｘ2ｃｏｓφ＋ｙ2ｓｉｎφ＝ｒ

　　ｘ3ｃｏｓφ＋ｒｓｉｎφ＝ｒ

　また，外接円の中心Ｏ（０，−ｄ）と点Ａ，点Ｂ，点Ｃとの距離の２乗はＲ^2となることより

　　ｘ1^2＋（ｒ−ｄ）^2＝Ｒ^2

　　ｘ2^2＋（ｙ2＋ｄ）^2＝Ｒ^2

　　ｘ3^2＋（ｒ＋ｄ）^2＝Ｒ^2

　θとφを消去するにはどうしたらよいか？　実はこれらに対しては，単純にグレブナー基底を計算せよというコマンドを入力することによって，次の結果が得られた．

［１］双心五角形

　　ｄ^6−２ｄ^4ｒＲ＋８ｄ^2ｒ^3Ｒ−３ｄ^4Ｒ^2−４ｄ^2ｒ^2Ｒ^2＋４ｄ^2ｒＲ^3＋３ｄ^2Ｒ^4＋４ｒ^2Ｒ^4−２ｒＲ^5−Ｒ^6＝０

［２］双心六角形

　　３ｄ^8−４ｄ^6ｒ^2−１２ｄ^6Ｒ^2＋４ｄ^4ｒ^2Ｒ^2−１６ｄ^2ｒ^4Ｒ^2＋１８ｄ^4Ｒ^4＋４ｄ^2ｒ^2Ｒ^4−１２ｄ^2Ｒ^6−４ｒ^2Ｒ^6＋３Ｒ^8＝０

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