和算の問題には内接円の大きさを求めよというものが多い．たとえば，

［Ｑ］外円内に甲乙乙丙丙丁の６円が戊円を取り巻いて内外接している．

　　（甲）

　（乙戊乙）

　（丙丁丙）

外円の直径は１８寸，甲円の直径が３寸のとき，丁円の直径を求めよ．

といった具合である．

　ここでは，外円の直径は２Ｒ寸，甲円の直径は丙円の直径のｍ倍のとき，丙円の直径を求めよという類の問題を取り上げて，この問題が解をもつｍの範囲はどうなっているのかを一般解の形で求めてみたい．

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【１】狭い側の円の直径の円被覆

　　ｄ^2＝ｒ^2−ｒＲ（ｓ＋１／ｓ）＋Ｒ^2

　　ここで，ｒ≦ｓＲという条件がつくが，これについては問題なし．

　また，題意より

　　Ｒ−ｄ−ｒ＝２ｍｒ

　　ｄ＝Ｒ−（２ｍ＋１）ｒ

　　ｄ^2＝（２ｍ＋１）^2ｒ^2−２（２ｍ＋１）ｒＲ＋Ｒ^2

　　ここで，ｒ≦Ｒ／（２ｍ＋１）という条件がつく．

　これより

　　４ｍ（ｍ＋１）ｒ^2−（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）ｒＲ＝０

　　４ｍ（ｍ＋１）ｒ−（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）Ｒ＝０

　　ｒ＝（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）Ｒ／４ｍ（ｍ＋１）

したがって，ｍ＞（ｓ＋１／ｓ−２）／４となるが，他の必要条件も満たしているであろうか？

　ｒ＝（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）Ｒ／４ｍ（ｍ＋１）≦Ｒ／（２ｍ＋１）

については

　　（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）（２ｍ＋１）≦４ｍ（ｍ＋１）

　　４ｍ^2＋２（２−ｓ−１／ｓ）ｍ＋２−ｓ−１／ｓ≦０

　　ｍ^2＋（２−ｓ−１／ｓ）ｍ／２＋（２−ｓ−１／ｓ）／４≦０

　　（ｍ＋（２−ｓ−１／ｓ）／４）^2≦−（２−ｓ−１／ｓ）／４＋｛（２−ｓ−１／ｓ）／４｝^2

ここで，ｃ＝（ｓ＋１／ｓ−２）／４とおくと

　　（ｍ−ｃ）^2≦ｃ＋ｃ^2

　以上をまとめると，

　　ｃ＜ｍ≦ｃ＋（ｃ＋ｃ^2）^1/2，ｃ＝（ｓ＋１／ｓ−２）／４

［１］ｎ＝３のとき

　　ｓ＋１／ｓ＝１４，ｂ＝４，（ｂ＋ｂ^2）^1/2＝√１２

　　３＜ｍ≦３＋√１２＝６．４６４１

［２］ｎ＝４のとき

　　ｓ＋１／ｓ＝６，ｂ＝１，（ｂ＋ｂ^2）^1/2＝√２

　　１＜ｍ≦１＋√２＝２．４１４２１

［３］ｎ＝５のとき

　　ｓ＋１／ｓ＝２２−８√５，ｂ＝５−２√５，（ｂ＋ｂ^2）^1/2＝（５０−２２√５）^1/2

　．５２７８６４＝５−２√５≦ｍ≦５−２√５＋（５０−２２√５）^1/2＝１．４２５９２

［４］ｎ＝６のとき

　　ｓ＋１／ｓ＝１０／３，ｂ＝１／３，（ｂ＋ｂ^2）^1/2＝２／３

　　１／３≦ｍ≦１

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【２】広い側の円の直径の円被覆

　　ｄ^2＝ｒ^2−ｒＲ（ｓ＋１／ｓ）＋Ｒ^2

　　ここで，ｒ≦ｓＲという条件がつくが，これについては問題なし．

　また，ｄ＞０のときは，題意より

　　Ｒ＋ｄ−ｒ＝２ｍｒ

　　ｄ＝（２ｍ＋１）ｒ−Ｒ

　　ｄ^2＝（２ｍ＋１）^2ｒ^2−２（２ｍ＋１）ｒＲ＋Ｒ^2

　　ここで，ｒ≧Ｒ／（２ｍ＋１）という条件がつく．

ｄ＜０のときは

　　Ｒ−ｄ−ｒ＝２ｍｒ

　　ｄ＝Ｒ−（２ｍ＋１）ｒ

　　ｄ^2＝（２ｍ＋１）^2ｒ^2−２（２ｍ＋１）ｒＲ＋Ｒ^2

　　ここで，ｒ≧Ｒ／（２ｍ＋１）という条件がつく．

　どちらの場合も

　　４ｍ（ｍ＋１）ｒ^2−（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）ｒＲ＝０

　　４ｍ（ｍ＋１）ｒ−（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）Ｒ＝０

　　ｒ＝（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）Ｒ／４ｍ（ｍ＋１）

したがって，ｍ≧（ｓ＋１／ｓ−２）／４となるが，他の必要条件も満たしているであろうか？

　ｒ＝（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）Ｒ／４ｍ（ｍ＋１）≧Ｒ／（２ｍ＋１）

については

　　（４ｍ＋２−ｓ−１／ｓ）（２ｍ＋１）≧４ｍ（ｍ＋１）

　　４ｍ^2＋２（２−ｓ−１／ｓ）ｍ＋２−ｓ−１／ｓ≧０

　　ｍ^2＋（２−ｓ−１／ｓ）ｍ／２＋（２−ｓ−１／ｓ）／４≧０

　　（ｍ＋（２−ｓ−１／ｓ）／４）^2≧−（２−ｓ−１／ｓ）／４＋｛（２−ｓ−１／ｓ）／４｝^2

ここで，ｃ＝（ｓ＋１／ｓ−２）／４とおくと

　　（ｍ−ｃ）^2≧ｃ＋ｃ^2

　以上をまとめると，

　　ｍ≧ｃ＋（ｃ＋ｃ^2）^1/2，ｃ＝（ｓ＋１／ｓ−２）／４

　　ｍの上限は規定することができない．

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【３】余録

　　ｓ＋１／ｓ＝２（１＋（ｓｉｎ（π／ｎ））^2）／（１−（ｓｉｎ（π／ｎ））^2）

　＝２（１＋（ｓｉｎ（π／ｎ））^2）／（ｃｏｓ（π／ｎ））^2

　＝２（（ｃｏｓ（π／ｎ））^2１＋２（ｓｉｎ（π／ｎ））^2）／（ｃｏｓ（π／ｎ））^2

　＝２（１＋２ｔａｎ^2（π／ｎ））

であるから，

　　ｃ＝（ｓ＋１／ｓ−２）／４＝（ｔａｎ（π／ｎ））^2

　　（ｃ＋ｃ^2）^1/2＝ｔａｎ（π／ｎ）ｓｅｃ（π／ｎ）

　　ｃ＋（ｃ＋ｃ^2）^1/2＝ｔａｎ（π／ｎ）｛ｔａｎ（π／ｎ）＋ｓｅｃ（π／ｎ）｝

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