接する円の族に関する定理では何百という美しい定理があるが，シュタイナー円鎖について述べておきたい．シュタイナーの定理とは「小円を大円の内部におき，この２つの円の中間に次々に接する円列を作る．たいていの場合，最後の円は重なってしまい，この円列は互いに接する円環をなさない．しかしときとして完全な円環をなす場合がある．このとき，最初の円をどこに選ぼうとも完全な円環をなす．」というものである．

　シュタイナーの定理では，円鎖がうまく閉じるはどうかに関わらず，円鎖を構成する円の中心はすべてひとつの楕円上にある．シュタイナーの定理でｎ→∞とすると，アルキメデスのアルベロスになる．アルキメデスのアルベロス（靴屋のナイフ）円列はシュタイナーの円鎖の特別な場合になっていて，円の中心はすべて基線上に長径をもつ楕円の上にのっている．この円列の円の中心から基線までの距離は半径の２倍，４倍，８倍，・・・となる（パップス）．

　シュタイナーの定理とポンスレーの定理に共通する特徴は，２つの円が同心円ならば自明であるということである．ポンスレーの定理が成り立つような２円を見つけることは容易ではないが，シュタイナーの定理は最初の２円が同心円になるような反転を考えると容易に証明できる．反転によって，接する２円は接する２円か，円とその接線か，平行な２直線のいずれかにに移る．また，平面上の交わらない２つの円を同心円に移す写像が存在する．シュタイナーの定理はこれらの事実に基づいて証明されるのである．

　シュタイナーの定理が使いにくいのは，はじめの２つの円の中心間距離の条件（オイラー・フース型定理）が与えられていないためである．ここでは

　　大円（半径Ｒ），小円（半径ｒ），中心間距離ｄ

として，シュタイナーの定理に対応するオイラー・フース型定理を導出する．

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【１】同心円への帰着

　シュタイナーの定理は最初の２円が同心円になるような反転を考えると容易に証明できる．メビウス変換

　　ｗ＝（ａｚ＋ｂ）／（ｃｚ＋ｄ）

は円を円に変換する．（この変換は円は円に移り，直線も円へ移るという性質を併せもつ．）たとえば，［０，ｉ，−ｉ］を［１，−１，０］に移す変換は

　　ｗ＝−（ｚ＋ｉ）／（３ｚ−ｉ）

となる．

　簡単にするため，

　　大円（半径１），小円（半径ｒ），中心間距離ｄ

最初の２円の直径端と中心がそれぞれ

　　［−１，０，１］，［α，（α＋β）／２），β］　　　（α＋β＞０）

にあると仮定しても一般性は失われない．

　　１＝（ａ＋ｂ）／（ｃ＋ｄ）

　　−１＝（−ａ＋ｂ）／（−ｃ＋ｄ）

　　α＝ｂ／ｄ

を解くと

　　ｗ＝（ｚ＋α）／（αｚ＋１）

は半径１の円板をそれ自身に移し，［−１，０，１］はそれぞれ［−１，α，１］に移されることがわかる．（円板の中心が円板の中心に移されるわけではない）．

　このとき，［α，β］が［−ｒ，ｒ］に移されるためには，

　　（α＋ａ）／（ａα＋１）＝−（β＋ａ）／（ａβ＋１）

より，ａに関する２次方程式

　　ａ^2＋２ａ（１＋αβ）／（α＋β）＋１＝０　　　（−１＜ａ＜０）

に帰着される．

　　ａ＝｛−（１＋αβ）±｛（１−α^2）（１−β^2）｝^1/2｝／（α＋β）

　　ｒ＝｜（α＋ａ）／（ａα＋１）｜＝｜（β＋ａ）／（ａβ＋１）｜

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【２】閉包条件

　これで半径ｒが求まった（Ｒ＝１）．（（１＋ｒ）／２，０）を中心とした半径（１−ｒ）／２の円が描けることから，１周して鎖が閉じるための条件は，

　　２ａｒｃｓｉｎ（（１−ｒ）／（１＋ｒ））

が２πの整数分の１のときである．

　ｎ個の円で１周するならば，

　　２ａｒｃｓｉｎ（（１−ｒ）／（１＋ｒ））＝２π／ｎ

　　（１−ｒ）／（１＋ｒ）＝ｓｉｎ（π／ｎ）

　　ｒ＝（１−ｓｉｎ（π／ｎ））／（１＋ｓｉｎ（π／ｎ））

で与えられる．

　あるいは，ｎ個の円で１周するならば，（（Ｒ＋ｒ）／２，０）を中心とした半径（Ｒ−ｒ）／２の円が描けることから，

　　（Ｒ＋ｒ）／２：（Ｒ＋ｒ）／２＝１：ｓｉｎ（π／ｎ）

　　Ｒ＝ｒ（１＋ｓｉｎ（π／ｎ））／（１−ｓｉｎ（π／ｎ））

で与えられるとしてもよい．

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【３】オイラー・フース型定理の導出

　メビウス変換

　　ｗ＝（ｚ＋ａ）／（ａｚ＋１）

の逆変換は

　　ｚ＝（−ｗ＋ａ）／（ａｗ−１）

である．

　　ｓ＝（１−ｓｉｎ（π／ｎ））／（１＋ｓｉｎ（π／ｎ））

とおくと，

　　α＝−（ｓ＋ａ）／（ａｓ＋１）

　　β＝（−ｓ＋ａ）／（ａｓ−１）

である．

　これからｓを消去する．第１式より

　　ａ＝−（ｓ＋α）／（αｓ＋１）

第２式に代入すると

　　β＝（ｓ（αｓ＋１）＋（ｓ＋α））／（ｓ（ｓ＋α）＋（αｓ＋１））

　　β（２αｓ＋ｓ^2＋１）−α（ｓ^2＋１）＝２ｓ

　　２αβｓ＋（β−α）（ｓ^2＋１）＝２ｓ

　ここで，

　　（α＋β）／２＝ｄ，（β−α）／２＝ｒ

より，

　　α＝ｄ−ｒ，β＝ｄ＋ｒ

を代入すると

　　ｄ^2−ｒ^2＋ｒ（ｓ＋１／ｓ）＝１

　　ｄ^2＝ｒ^2−ｒ（ｓ＋１／ｓ）＋１

　　大円（半径Ｒ），小円（半径ｒ），中心間距離ｄ

では

　　ｄ^2＝ｒ^2−ｒＲ（ｓ＋１／ｓ）＋Ｒ^2

これがシュタイナーの定理に対応するオイラー・フース型定理である．

　もし，ｄ＝０ならば

　　（ｒ−ｓＲ）（ｒ−Ｒ／ｓ）＝０

となるが，ｒ＝Ｒ／ｓは大円と小円が逆転するのでｒ＝ｓＲ．また，ｓ＜１／ｓより，ｒはｄ＝０のとき最大値ｓＲをとる．

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