■正多胞体の不変量(その77)

 漸化式:Un(t)=2tUn-1(t)−Un-2(t),n≧3

が成り立つことを証明したい.

 t=cosθとすると,右辺は

{2cosθsinnθ−sin(n−1)θ}/sinθ

 また,

 sin(n+1)θ+sin(n−1)θ=2cosθxsinnθ

より,

 漸化式:Un(t)=2tUn-1(t)−Un-2(t),n≧3

が示される.

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 漸化式:Tn(t)=2tTn-1(t)−Tn-2(t),n≧3

が成り立つことを証明したい.

 t=cosθとすると,右辺は

2cosθTn-1(cosθ)−Tn-2(cosθ)

=2cosθcos(n−1)θ−cos(n−2)θ

 また,

 cosnθ+cos(n−2)θ=2cosθcos(n−1)θ

より,

 漸化式:Tn(t)=2tTn-1(t)−Tn-2(t),n≧3

が示される.

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