■正多胞体の不変量(その68)

 正多胞体を2次元に図示する場合,ひとつにはなるべく多くの頂点が重なるように配置する方法と,もうひとつには頂点がなるべく重ならないように配置する2つの方法がある.

 ここでは 輪郭が正m角形でmが最大となるような座標配置と考えると,

  正単体→m=n+1

  立方体・正軸体→m=2n

  F4→m=24,H3→m=10,H4→m=30

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【1】ねじれ角

 これらのねじれ角が,正単体に関しては第2種チェビシェフ多項式sin(n+1)θ/sinθ=0,立方体・正軸体に関しては第1種チェビシェフ多項式cosnθ=0,また,特殊型としてαnに関してはtan(n+1)θ=ntanθで与えられることはコラム「サマーヴィルの等面四面体」で述べたとおりである.

 固有値の決定に関しては

[1]正単体の場合,第2種チェビシェフ多項式を用いて

  Pn(λ)=Un(λ)/2^n=0

[2]正軸体,立方体の場合,第1種チェビシェフ多項式を用いて

  Pn(λ)=Tn(λ)/2^n=0

と書き表すことができる.

  [x 1/2 0 0   0 ] [2x 1  0  0    0]

  [1/2 x 1/2 0     ] [1 2x  1  0     ]

2^n[0 1/2 x 1/2    ]=[0  1 2x  1     ]

[0 0 1/2 x     ] [0  0  1 2x     ]

  [        x 1/2 ] [          2x  1]

  [0       1/2 x ] [0          1 2x]

=sin(n+1)θ/sinθ=Un(x)

は第2種チェビシェフ多項式の行列式表示となる.

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[x  1  0  0    0]

[1 2x  1  0     ]

[0  1 2x  1     ]

[0  0  1 2x     ]

[          2x  1]

[0          1 2x]

=cosnθ=Tn(x)

は第1種チェビシェフ多項式の行列式表示となる.

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[まとめ]これらのことからこれらの解が講義のポアンカレ多項式の解の実部,虚部として与えられることが理解されるのである.

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