■正多胞体の不変量(その37)

 ここでは対称行列Cnを扱う.

   [0 1 0 0   -1]

   [1 0 1 0    ]

1/2[0 1 0 1    ]=Cn

   [0 0 1 0    ]

   [        0 1]

   [-1       1 0]

det(xEn−Cn)=Φn(x)

Φn(x)=Π(x−cos(2k−1)π/n)と因数分解されて

cos((2k−1)π/n)を零点にもつことがわかる.

[Q](x1,・・・xn)がx1^2+x2^2+・・・+xn^2=1を)満たしながら動くとき,x1x2+x2x3+・・・+xn-1xnの最大値・最小値は?

[A]x1x2+x2x3+・・・+xn-1xnは

[0 1/2 0 0   0]

[1/2 0 1/2 0    ]

[0 1/2 0 1/2    ]=1/2・An

[0 0 1/2 0    ]

[        0 1/2]

[0       1/2 0]

に対応する2次形式であるから,Cnの最大値・最小固有値を求めると

最大値はcos(π/n)

最小値は,nが偶数のとき−cos(π/n),nが奇数のとき−1

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