■正多胞体の不変量(その35)

[Q](x1,・・・xn)がx1^2+x2^2+・・・+xn^2=1を)満たしながら動くとき,x1x2+x2x3+・・・+xn-1xnの最大値・最小値は?

[A]x1x2+x2x3+・・・+xn-1xnは

[0 1/2 0 0   0]

[1/2 0 1/2 0    ]

[0 1/2 0 1/2    ]=1/2・An

[0 0 1/2 0    ]

[        0 1/2]

[0       1/2 0]

に対応する2次形式であるから,1/2・Anの最大値・最小固有値を求めると

±cos(π/(n+1))

  [参]黒川信重「零点問題集」現代数学社

を参照されたい.

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