■正多胞体の不変量(その27)

 ねじれ角が,正単体に関しては第2種チェビシェフ多項式sin(n+1)θ/sinθ=0,立方体・正軸体に関しては第1種チェビシェフ多項式cosnθ=0,また,特殊型としてαnに関してはtan(n+1)θ=ntanθで与えられることはコラム「サマーヴィルの等面四面体」で述べたとおりである.

 固有値の決定に関しては

[1]正単体の場合,第2種チェビシェフ多項式を用いて

  Pn(λ)=Un(λ)/2^n=0

[2]正軸体,立方体の場合,第1種チェビシェフ多項式を用いて

  Pn(λ)=Tn(λ)/2^n=0

と書き表すことができる.

  [x 1/2 0 0   0 ] [2x 1  0  0    0]

  [1/2 x 1/2 0     ] [1 2x  1  0     ]

2^n[0 1/2 x 1/2    ]=[0  1 2x  1     ]

[0 0 1/2 x     ] [0  0  1 2x     ]

  [        x 1/2 ] [          2x  1]

  [0       1/2 x ] [0          1 2x]

=sin(n+1)θ/sinθ=Un(x)

は第2種チェビシェフ多項式の行列式表示となる.

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[x  1  0  0    0]

[1 2x  1  0     ]

[0  1 2x  1     ]

[0  0  1 2x     ]

[          2x  1]

[0          1 2x]

=cosnθ=Tn(x)

は第1種チェビシェフ多項式の行列式表示となる.

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