■正多胞体の不変量(その11)

[2x 1  0  0    0]

[1 2x  1  0     ]

[0  1 2x  1     ]

[0  0  1 2x     ]

[          2x  1]

[0          1 2x]

=sin(n+1)θ/sinθ=Un(x)

は第2種チェビシェフ多項式の行列式表示となる.

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[x  1  0  0    0]

[1 2x  1  0     ]

[0  1 2x  1     ]

[0  0  1 2x     ]

[          2x  1]

[0          1 2x]

=cosn=Tn(x)

は第1種チェビシェフ多項式の行列式表示となる.

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 多少修正した記号を使う場合もあるので注意が必要であるが,

[ x −1  0  0     0]

[−1  x −1  0      ]

[0  −1  x −1      ]=Un(x)

[0  0  −1  x      ]

[             x −1]

[0           −1  x]

un(x)=detUn(x)

で定義すると,Un(x/2)=un(x)が成り立つ.

[x1  −1  0  0      0]

[−1 x2  −1  0       ]

[0  −1 x3  −1       ]=Un(x1,・・・,xn)

[0  0  −1  x4       ]

[            xn-1  −1]

[0           −1  xn ]

は第2種チェビシェフ多項式の自然な多変数版になっている.

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