■ヘロン・オイラー・サマーヴィルの公式と三角錐(その1)

 n次元単体の各頂点間の距離が既知のとき,体積Vを計算する公式は

[1]n=2のときのヘロンの公式

[2]n=3のときのオイラーの体積公式=「六斜術」

[3]4次元空間の5個の点に関しては相互の10個の距離の間に「十斜術」の公式がある.

 これらは体積を座標の行列式で表し,その転置行列とかけた式の各項を辺長の2乗で表した行列式の形になっている.

 また,重心座標を活用して,外心の座標と外接円の半径Rとから表す公式は,次の本にある.

 一松信「重心座標による幾何学」現代数学社,2014

 多少特別な場合,たとえば直角錘,等面単体などでも一般公式を出しておくのは価値があるだろう.

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