Ａ3型，Ｄ4型，Ｅ8型のディンキン図形は，

　　　　　　３　　　　　　　　　１−２−３　　（Ａ3 ）

　　　　　／　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　１−２　　　（Ｄ4 ）　　　　　　　　４　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　＼　 　　　　　　　　　　　　 ｜　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　４　　　　　　　　　１−２−３−５−６−７−８　　（Ｅ8 ）

そして，ディンキン図形に基づいて，隣接行列の要素ｂijを，

　　それ自身のとき・・・・２

　　結ぶ辺があるとき・・・１

　　結ぶ辺がないとき・・・０

と定めます．

　これは，隣接行列｛ｂij｝が内積ｂi↑・ｂj↑からなるグラミアンによって定義され，その際，ｎ次元平行多面体の基底となるｎ個のベクトルｂkはすべて長さ√２，ｂiとｂjが隣り合うときは２つのベクトルは角度６０°で交わり（内積＝１），隣り合わないときは直交すること（内積＝０）を意味しています．

　そうすれば，Ａ3型，Ｄ4型，Ｅ8型に対応する隣接行列式｜Ｂ｜は，それぞれ

　　｜２　１　０｜　　　｜２　１　０　０｜

　　｜１　２　１｜　　　｜１　２　１　１｜

　　｜０　１　２｜　　　｜０　１　２　０｜

　　　　　　　　　　　　｜０　１　０　２｜

　　｜２　１　０　０　０　０　０　０｜

　　｜１　２　１　０　０　０　０　０｜

　　｜０　１　２　１　１　０　０　０｜

　　｜０　０　１　２　０　０　０　０｜

　　｜０　０　１　０　２　１　０　０｜

　　｜０　０　０　０　１　２　１　０｜

　　｜０　０　０　０　０　１　２　１｜

　　｜０　０　０　０　０　０　１　２｜

で定義され，格子群の基本領域の体積Ｖと最短距離ｄは

　　Ｇ＝（ｄ^2／２）^n｜Ｂ｜＝１＝Ｖ^2

より求められます．極大格子については，現在のところ，ｎ≦８のみ答えが知られています．

ｎ　　　ルート　　　最小距離　　　　　　　　　　　　　球充填密度

１　　　　　　　　　１　　　　　　　　　　　　　　　　１

２　　　Ａ2　　　　4√（４／３） 　＝１．０７５　　　　０．９０６

３　　　Ａ3　　　　6√２　　　　 　＝１．１２２　　　　０．７４０

４　　　Ｄ4　　　　8√４　　　　 　＝１．１８９　　　　０．６１９

５　　　Ｄ5　　　　10√８　　　　　＝１．２３１　　　　０．４６５

６　　　Ｅ6　　　　12√（６４／３）＝１．２９０　　　　０．３７３

７　　　Ｅ7　　　　14√６４　　　　＝１．３４６　　　　０．２９５

８　　　Ｅ8　　　　√２　　　　　　＝１．４１４　　　　０．２５４

　最小距離が√２となるｎ＝８の場合が大変興味を惹かれます．７次元までの２次形式は単位行列から定まる２次形式

　　ｘ1^2＋・・・＋ｘn^2

と同型になるのですが，ｎ＝８ではこの情勢が覆り，同型ではないからです．

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