■３次曲面上の２７本の直線（その３１）
立方体の面上に中心で交わる2本の線分がある
各々の線分は2辺と交差し、そこでほかの線分と交わる
さらに辺の延長と交差し、、そこでほかの線分と交わる
これが、シュレーフリの２重６角形とよばれるもの（の一部）である
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3次元空間の任意の９点を通る2次曲面が存在する
3次元空間の任意の19点を通る3次曲面が存在する
ある2次曲面（双曲面）をその上に含むような3次曲面はその２次曲面と１つの平面から成り立っている
２重６角形はつねにある3次曲面上にある
以上により3次曲面の上に2・6+15本の直線を見出すことができる
27個の直線は
ai-6
bi-6
cij(i＜j)-6・5/2=15
27個の直線、216対=16/2・27の交わらない直線、135対＝10/2・27の交わる直線
221配置の上には135個の点が属する、x・2=27・10
ｐ個の点とｇ個の直線からなり、各点にはγ個の直線が通り、各直線上にはπ個の点がある配置を（ｐγ、ｇπ）と表示するとｐγ＝ｇπ
（１３５2、２７10)
また、この双対（４５3、２７5)も作り上げることができる
なお、２重６角形は（３０2、１２5)である。
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4直線と交わる直線は2つだけ存在する
27本の直線と135個の点が属する（１３５2２７5）
a1b2で張られる平面
a2b1で張られる平面の交線がc12で、15組の対がある
この直線も3次曲面上に載っている
こうして3次曲面上に載っている27の直線を見出すことができる
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[a1,a2,a3,a4,a5,a6]
[b1,b2,b3,b4,b5,b6]
同じ行・同じ列にないとき交わる
a1b2は交わる
a1a2は交わらない
a1b1は交わらない
cij,cklは同じ添え字を持たないとき交わる
cij,cklは同じ添え字を持つとき交わらない
c12c34は交わる
c12c13は交わらない
ai(bi),cjkは同じ添え字を持つとき交わる
ai(bi),cjkは同じ添え字を持たないとき交わらない
a1c12,b1c12は交わる
a1,c23,b1c23は交わらない
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27本の直線中b6は16本と交わらない
a6
b1, b2, b3, b4, b5
c12,c23,c34,c45
c13,c24,c35
c14,c25
c15
これらは４次元曲面上の16本の直線と考えることができる
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４次元曲面上のa6は10本の直線
c12,c23,c34,c45
c13,c24,c35
c14,c25
c15
と交わらない。これらは5次元曲面上の10本の直線と考えることができる
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５次元曲面上のc45は6本の直線(double three)
c14,c24,c34
c15,c25,c35
と交わらない。これらはskew hexagon(c14c35c24c15c4c25)とみなすことができ、6次元曲面上の6本の直線と考えることができる
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6次元曲面上のc25は3本の直線
c24
c15, ,c35
と交わらない。これらは7次元曲面上の3本の直線と考えることができる
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7次元曲面上のc24は
c15, ,c35
の両方と交わるが、 c15, ,c35は互いに交わらない。
これらは8次元曲面には1本の直線c15を含むもの、1本の直線c35を含むもの、一本も含まないものがある。
9次元曲面は一本の直線も含まない。
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P21の頂点図形は(P-1)21であり、
240→56→27→16→10→6→3
は
P=4→3→2→1→0→-1→-2
に対応する
27個の直線、216対=16/2・27の交わらない直線、135対＝10/2・27の交わる直線は
27個の頂点、216個の辺、135個の対角線に対応する
頂点図形はhγ5,t1α4,三角柱,二等辺三角形
逆向きにたどれば56個の直線、240個の直線
27個の直線、28個のbitangent,120個のtritangent
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