【１】２次代数曲線上の点

　一直線上にない３点を通る２次曲線，４点を通る３次曲線はただひとつ存在しますが，それは座標軸の方向が定まっている場合：

　　ｙ＝ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ，ｙ＝ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ

のようにｙ＝ｆ（ｘ）の場合であって，一般には，平面上の任意の位置にある５点が唯一の円錐曲線を決定します．ニュートンは「プリンキピア」のなかで５点を通る円錐曲線の作図法などを案出しながら壮大な天体力学を展開しています．

　また，４つの円錐曲線が与えられたとき，それらすべてに接する円錐曲線は無限にあり，６つの円錐曲線が与えられたとき，それらすべてに接する円錐曲線は全く存在しない．

　５つの円錐曲線が与えられたとき，それらすべてに接する複素円錐曲線は３２６４本ある．３２６４本の接円錐曲線のすべてが実曲線である場合も発見されている．

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【２】３次代数曲線上の点

　同様に，３次曲線とはｆ（ｘ，ｙ）＝０が２変数ｘ，ｙの３次あるいは３次以下の方程式で与えられた曲線です．３次曲線の例としては，ディオクレスのシッソイド（ｘ^3＋ｘｙ^2＝ｙ^2）があげられますが，これは古代ギリシアにおいて立方体倍積問題に用いられた曲線です．また，

　　ｙ＝ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１

　　ｙ^3＝ｘｙ^2−２ｘ^2ｙ＋ｙ−３

なども３次曲線で，一般式の項数は１０になります．

　したがって，９個の点が一般的な選ばれ方をしていれば，その９個の点を通る３次局線は一意に存在します．３次曲線には数多くの興味深い性質があります．

［１］直線の３本組が２組あって，それが９個の点で交わっているとする．このとき，８個の点を通る３次曲線は残りの１点も通る．

［２］直線を含まない３次曲線には９つの変曲点をもつが，そのうち実であるのは３つよりは多くない．

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【３】平面代数曲線上の点

　平面内ｎ次曲線ｆ（ｘ，ｙ）＝０の一般式の項数は，

　　3Ｈn＝n+2Ｃn＝（ｎ＋２）（ｎ＋１）／２

で計算されます．

　ｎ次平面代数曲線の方程式ｆ（ｘ，ｙ）＝０は，（ｎ＋１）（ｎ＋２）／２個の係数をもっていますが，ｆに定数を掛けても曲線は変わりませんから，ｎ次曲線はｎ（ｎ＋３）／２個のパラメータに依っていることになります．そこで，平面内に与えられたｎ（ｎ＋３）／２個の点（ｘi，ｙi）を通るという条件によって曲線を決定するという問題が自然に提起されます．ニュートンはこうした研究を応用して，２次曲線上の５点，３次曲線上の７点が与えられた場合にこれを作図する方法を見いだしたのです．

　まとめると，２個の点を通る直線はひとつ，５個の点を通る２次曲線はひとつ，９個の点を通る３次曲線はひとつ，１４個の点を通る４次曲線はひとつ，・・・，（ｎ＋２，ｎ）−１＝（ｎ＋１）（ｎ＋２）／２−１＝ｎ（ｎ＋３）／２個の点を通るｎ次曲線はひとつあります．

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　平面内の２次曲線や空間内の２次曲面の分類はよく知られていて，高校で習うところです．２次曲線の分類については，３種類の円錐曲線，すなわち楕円，双曲線，放物線になりますが，同じことをもっと高次の曲線・曲面に対して考えるのは自然なことでしょう．１８，１９世紀になると，２次曲線論に続いて３次および４次曲線について論じられました．

　３次曲線の分類には，２次曲線とは異なった種類の難解さが要求されましたが，ニュートンはあらゆる場合を考察して，最終的に３次曲線は全部で７８種類が必要であることを示すに至り，さらに３次曲線の一般式が５個の標準形に帰することを示しました．ニュートンはこうした研究を応用して，２次曲線上の５点，３次曲線上の７点が与えられた場合にこれを作図する方法を見いだしています．

　ニュートンの３次曲線の分類に引き続いて，オイラーは４次平面曲線の分類を企てましたが，可能な場合の数が非常に多いという理由で断念しています．この問題に対する答えは長い間知られていなかったのですが，プリュッカーが１９世紀に４次曲線の１５２の型を数え上げることによって解かれました．プリュッカーはオイラーが４次曲線の分類で犯した多くの誤りを見つけたのですが，１８世紀の解析幾何とは違って，高次曲線，曲面は解析幾何の対称ではなく，代数幾何の分野となりました．

［補］ニュートンは係数の値によってとりうる３次曲線の形を７２種類挙げた．しかし，実際には７８種類あり，残り６種類のうち４種類はスターリング，２種類はニコルとベルヌーイが発見している．

［補］代数幾何学において重要な変換に双有理変換（クレモナ変換）があるが，ニュートンは楕円，放物線，双曲線から３次曲線を得るのに双有理変換を使っている．この例からわかるように代数曲線の次数は双有理変換で不変ではないが，種数は不変である．すなわち，ニュートンは代数操作という変換を用いており，７８種類というのは（幾何学的な分類ではなく）代数的な分類となっている．プリュカーは幾何学的な分類方法によって３次曲線を２１９種に分類している（１８３５年）．

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