［１］２次曲線（円錐曲線）

　平面上の５点で円錐曲線がひとつ決まる．

　２つの円錐曲線の交点での８本の接線は，同じ円錐曲線に接する．

　与えられた５つの円錐曲線に接する円錐曲線は３２６４個ある．

［２］３次曲線

　ニュートンは，平面３次曲線はすべて，５つの空間３次曲線から中心射影を行うことで得られるれることを証明した．

　軸を変えても互いに他に還元できない３次曲線が７８種類ある（ニュートンはこのうち７２種類を見つけていた）．

　空間の６点で，空間３次曲線が決まる．

　ある点から３次曲線へは多くて６本の接線が引ける（これは３次曲線の類が３か４か６であることからいえる）

　３次曲線は高々９個の変曲点をもち，うち高々６個は実の変曲点である．この９点は１２本の直線上に３個ずつ並んでいる．

　非特異な３次曲線上にうまく２７個の点をとって，それらを通ってもとと６点で接する円錐曲線を引くことができる．この２７個の点は３次曲線の９個の変曲点のそれぞれを通る３つの接線の接点である．

［３］４次曲線

　４次曲線の３つの２重点での６本の接線は，同じ円錐曲線に接する．

　４次曲線は実変曲点を高々８つもつ．

　４次曲線は高々２４個の変曲点をもち，うち高々８個は実の変曲点である．　一般的な平面４次曲線の２重接線の最大本数は２８である（これは３次曲面に最大２７本の直線があることからいえる．３次曲面が３，７，１５，２７本の実直線しかもちえないことから，４次曲線は４，８，１６，２８本の実２重接線しかもちえない）．

　軸を変えても互いに他に還元できない４次曲線が１５２種類ある（この分類はオイラーが手がけ，プリュッカーが成し遂げた）．

　４次曲線に対し，どの４つの２重接線の接点を通る３１５個の円錐曲線が存在する．

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６次の既約な曲線は12個の直径を持ちうる

８次の代数曲線は最大18個の直径を持ちうる

１０次の代数曲線は最大30個の直径を持ちうる

２４次の代数曲線は最大30個の直径を持ちうる

ｍ次の既約な曲線の直径は、一般にｍが奇数なら最大ｍ個、ｍが偶数なら最大ｍ+2個ある。

ただし例外が６つあって、

ｍ＝6のとき、直径は最大12個

ｍ＝8のとき、直径は最大18個

ｍ＝10,12,24のとき、直径は最大30個

ｍ＝16のとき、直径は最大18個（２つのタイプがある）

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ｍ＝6のときの12個の直径は、４つの直径で3つのバラ模様を、6つの直径で4つのバラ模様を、2つが１点で交わった共役なもの6つに分けられる。

このことは立方体とその対称変換群S4（位数24）の性質からいえる

ｍ＝8のときの18個の直径は、４つの直径で3つのバラ模様を、8つの直径で4つのバラ模様を、共役なもの9つに分けられる。

このことは正八面体とその対称変換群の性質からいえる

ｍ＝12,20,24のときの30個の直径は、6つの直径で6つのバラ模様を、6つの直径で10のバラ模様を、4つの直径で15のバラ模様を、共役なもの15に分けられる。

どの対も2つのバラ模様に属している。このことは正12面体とその対称変換群の性質からいえる

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