【１】代数曲面の分類

　空間内の２次曲面の分類はよく知られていて，２次曲面ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０は楕円面，一葉双曲面，二葉双曲面，楕円放物面，双曲放物面のどれかに分類されます．２次曲面には無数に多くの直線がのっているものがあり，その場合には直線を織りなして得られる曲面という意味で「線織面」と呼ばれます．直線が乗っている曲面といいかえてももよいでしょう．

　円柱や円錐は線織面になっています．円柱や円錐は１通りの直線族でできていますが，線織面の中には２通りの直線族によって作られているものもあり，一葉双曲面（つづみ型）や双曲放物面がその例です．線織面のガウス曲率は常にゼロ以下ですが，ガウス曲率が常にゼロより小さく２通りの直線族によって作られているものは一葉双曲面と双曲放物面の２つに限られます．（３通りの直線族によって作られるものは平面だけです．）

　２次曲面が直線の族を含んでいるという事実は建築でも実際に応用されますが，カーブを描いた曲面をコンクリートを使って建設できるということは明らかに利点です．

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　一方，３次曲面ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０には高々２７本の直線しか含まないことが証明されています（サルモン，１８８４年）．１次曲面（平面）は∞^2個，２次曲面は∞^1個の直線を含み，一般の３次曲面では（少なくとも１本の直線を含むが）その数は高々有限個（２７本）です．それに対して，一般のｎ次曲面（ｎ＞３）は直線を全然含んでいません．

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３次曲面上には27本の直線が含まれる（ケーリーとサーモン）

x^3+y^3+z^3+w3=0

ω=exp(2πi/3)

x+ω^jy=z+ω^jwはx,y,z,wの入れ替えで27本の直線が定まる

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