［１］伸開線と縮閉線

　円の伸開線，すなわち円に巻きつけた糸の一端の軌跡は

　　ｘ＝ａ（ｃｏｓθ＋θｓｉｎθ），ｙ＝ａ（ｓｉｎθ−θｃｏｓθ）

と表され，歯車の歯形として工学に応用されています．また，放物線：ｙ＝ｘ^2の縮閉線はｙ＝１／２＋３（ｘ／４）^(2/3)です．逆に，半立方放物線：ｙ^2＝ａｘ^3の伸開線は放物線になります．

　定直線の上を転がる円の周に固定した点の軌跡であるサイクロイド：

　　ｘ＝ｒ（θ−ｓｉｎθ），ｙ＝ｒ（１−ｃｏｓθ）

の縮閉線は

　　ｘ＝ａ（θ＋ｓｉｎθ），ｙ＝−ａ（１−ｃｏｓθ）

です．ここで，θ＝π＋ｔとおけば

　　ｘ＝ａ（ｔ−ｓｉｎｔ）＋ａπ，ｙ＝ａ（１−ｃｏｓｔ）−２ａ

ですから，もとのサイクロイドと合同なサイクロイドになることが示されます．サイクロイドの伸開線はそれと合同なサイクロイドですが，対数らせんの伸開線も再びそれと合同な対数らせんになります．

　カテナリー（懸垂線）の伸開線はトラクトリックス（追跡線）と呼ばれています．

　　ｘ＝ａ（ｌｏｇｔａｎ（θ／２）＋ｃｏｓθ），ｙ＝ａｓｉｎθ

追跡線上の点と，その点での接線がｘ軸と交わる点との距離ａは常に一定です．この性質が追跡線というこの曲線の名前の由来で，ある長さのひもの先に石を結びつけて引っ張りながらｘ軸上を歩くと，石の通る軌跡が追跡線になります．追跡線をｘ軸（漸近線）のまわりに回転すると，曲率が負で一定の曲面（擬球面）ができます．定数ａをその擬半径といいます．

　驚いたことに，この曲面上の幾何学はユークリッド幾何学の平行線の公理を「直線外の１点を通り，その直線に平行な直線は無数に存在する」によって取り替えて導かれる双曲的非ユークリッド幾何学と同じになります．双曲的非ユークリッド幾何学はボヤイとロバチェフスキーがそれぞれ独立に，しかもも同じ時期に発見したものです．

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