[Q]放物線y=x^2が与えられている。その放物線上に乗っていない点を(p,q)とする。放物線上の点で与えられた点との距離が最大あるいは最小となる点はどこか？

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[A]f(x)=(x-p)^2+(x^2-q)^2

f'(x)=4x^3+2(1-2q)x-2pが0になる点を求める。

それに対応して法線が引けるが、これがいくつあるかは点(p,q)の位置によって異なる。

f''(x)=124x^2+2(1-2q)

f'(x)=0,f''(x)=0に共通根がある場合を考慮すると

(2q-1)^3>27p^2/2のとき、実根が3個→3本の法線が引ける

(2q-1)^3=27p^2/2のとき、実根が2個

(2q-1)^3<27p^2/2のとき、実根が1個

放物線：ｙ＝ｘ^2の縮閉線はｙ＝１／２＋３（ｘ／４）^(2/3)です．

結局、与えられた点と法線の包絡線の位置関係によって、法線の個数は異なる。

楕円の場合も同様に計算することができる。

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【２】縮閉線と伸開線（平行曲線の特異点はその曲線の縮閉線上に現れる）

伸開線は縮閉線に沿って置いた一本の糸をピンと張りながら広げていったときの糸の上の１点の軌跡と考えられます．すなわち，曲線Ｌのまわりに巻かれた糸があり，この糸をぴんと張ったままほどくと糸の自由端によって曲線Ｍが描かれるとします．ＭをＬの伸開線，ＬをＭの縮閉線と呼びます．

放物線：ｙ＝ｘ^2の縮閉線はｙ＝１／２＋３（ｘ／４）^(2/3)です．逆に，半立方放物線：ｙ^2＝ａｘ^3の伸開線は放物線になります．

　曲線の曲がり具合を記述する微分幾何学では，曲線の曲率中心の軌跡を縮閉線（エボリュート）といい，縮閉線に対してもとの曲線を伸開線（インボリュート）といいます．縮閉線の接線は伸開線の法線ですから，これら２曲線の間で測った長さは伸開線の曲率半径になります．

　縮閉線は楕円や円の曲がり具合と直接関係していて，たとえば，楕円と円の各点から法線を引くと，楕円の場合は４つのカスプをもつ曲線が浮かび上がってきます．また，円の場合は中心点に法線が集中してしまうことになります．

　このように，縮閉線は与えられた曲線の曲率中心においてその法線と接するので，縮閉線は与えられた曲線の法線からなる直線族の包絡線（エンベロプ）を求めることにより得られることがわかります．例をあげると，楕円：

　　ｘ^2／ａ^2＋ｙ^2／ｂ^2＝１

の縮閉線は，４つのカスプをもつ曲線（準アステロイド）

　　（ａｘ）^(2/3)＋（ｂｙ）^(2/3)＝（ａ^2−ｂ^2)^(2/3)

で，楕円の平行曲線の特異点は，その曲線の縮閉線である準アステロイド上に現れるのです．

　微分幾何学の基礎的知識によって，縮閉線の特異点が楕円と円の曲がり具合の違いを記述すること，平行曲線の特異点はその曲線の縮閉線上に現れること，したがって，与えられた曲線の法線の包絡線は特異点の集合としてとらえることができることなどが理解されます．

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