[Q]放物線y=x^2が与えられている。その放物線上に乗っていない点を(p,q)とする。放物線上の点で与えられた点との距離が最大あるいは最小となる点はどこか？

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[A]f(x)=(x-p)^2+(x^2-q)^2

f'(x)=4x^3+2(1-2q)x-2pが0になる点を求める。

それに対応して法線が引けるが、これがいくつあるかは点(p,q)の位置によって異なる。

f''(x)=124x^2+2(1-2q)

f'(x)=0,f''(x)=0に共通根がある場合を考慮すると

(2q-1)^3>27p^2/2のとき、実根が3個→3本の法線が引ける

(2q-1)^3=27p^2/2のとき、実根が2個

(2q-1)^3<27p^2/2のとき、実根が1個

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結局、与えられた点と法線の包絡線の位置関係によって、法線の個数は異なる。

楕円の場合も同様に計算することができる。

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