■2次曲線の最大最小問題(その11)

 2つの楕円

[1]x^2/a^2+y^2/b^2=1

[2]x^2/a^2+y^2/b^2=k  (k>1)

がある.

 点Pを[1]上の点とし,その点での接線が[2]と交わる点をM,Nとする.このとき,線分MNと[1]で囲まれる面積は一定である.

 パラメータ表示して,扇型から三角形を差し引く方法を試みる.

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  x=acosθ,y=bsinθ

  dx=−asinθdθ,dy=bcosθdθ

  dy/dx=−b/a・cotθ

 接線の方程式は

  y−bsinθ=−b/a・cotθ・(x−acosθ)

  ay−absinθ=−bcotθ(x−acosθ)

  (bcotθ)x+(a)y=ab(sinθ+cos^2θ/sinθ)  (bcosθ)x+(asinθ)y=ab

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 x=√k・acosθ

 y=√k・bsinθ

楕円と接線の交点を

  (√k・acosα,√k・bsinα)

  (√k・acosβ,√k・bsinβ)

とすると,

  (bcosθ)√k・acosα+(asinθ)√k・bsinα=ab

  (bcosθ)√k・acosβ+(asinθ)√k・bsinβ=ab

  cos(θ−α)=1/√k

  cos(β−θ)=1/√k

  θ−α=arccos(1/√k)

  β−θ=arccos(1/√k)

  β−α=2arccos(1/√k)

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 S=∫xdy=−∫ydx=1/2・∫(xdy−ydx)

 S=1/2・∫(xdy−ydx)

の形にした方が対称性が保たれて計算しやすい.

 扇型の面積は

 S=k/2・∫(abcos^2θ+absin^2θ)dθ

 S=abk/2・∫[α,β]dθ=ab/2・(β−α)

=ab/2・2arccos1/√k  (一定)

 三角形の面積は

 1/2|√k・acosα,√k・bsinα|

    |√k・acosβ,√k・bsinβ|

=abk/2・sin(β−α)

=abk/2・sin(2arccos1/√k)  (一定)

 したがって,(扇型−三角形)の面積は一定である.

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