■2次曲線の最大最小問題(その5)

放物線:y=x^2の縮閉線はy=1/2+3(x/4)^(2/3)です.

もともとの点がこの曲線よりも上側にあれば3本の法線が引ける

曲線上にあれば2本の法線が引ける

この曲線よりも下側にあれば1本の法線が引ける

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  x^2/a^2+y^2/b^2=1

の縮閉線は,4つのカスプをもつ曲線(準アステロイド)

  (ax)^(2/3)+(by)^(2/3)=(a^2−b^2)^(2/3)

です

もともとの点がこの曲線よりも外側にあれば2本の法線が引ける

曲線上にあれば3本の法線が引ける

この曲線よりも内側にあれば4本の法線が引ける

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楕円上の2点(x0,y0),(x1,y1)において法線を考える。その交点は

X=(a^2-b^2)x0x1(y0-y1)/a^2(y0x1-y1x0)

Y=(a^2-b^2)y0y1(x0-x1)/a^2(y0x1-y1x0)

x1→x0のとき

X=(a^2-b^2)x0^3/a^4

Y=-(a^2-b^2)y0^3/b^4

これは

  (ax)^(2/3)+(by)^(2/3)=(a^2−b^2)^(2/3)

上に乗っている

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双曲線xy=1についても同様に考えることができる

2点(x0,y0),(x1,y1)において法線を考える。その交点は

X={x0x1(xx0^2+x0x1+x1^2)+1}/x0x1(x0+x1)

Y={x0^3x1^3+x0^2+x0x1+x1^2}/x0x1(x0+x1)

x1→x0のとき

X={3x0^4+1}/2x0^3

Y={x0^4+3}/2x0

この曲線は無限に広がるラッパ状の曲線であるが

もともとの点がこの曲線よりも外側にあれば2本の法線が引ける

曲線上にあれば3本の法線が引ける

この曲線よりも内側にあれば4本の法線が引ける

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