フィボナッチ数は

[Fn+1,Fn]=[1,1]^n

[Fn,Fn-1] [1,0]

で表される。一方、黄金比の近似分数は

[pn,pn-1]=[1,1]^n

[qn,qn-1] [1,0]

から求められる。

このことから、黄金比の近似分数がフィボナッチ数の比で表されることが分かる。

逆に、フィボナッチ数の比Fn+1/Fnがｎ→∞のとき、黄金比に近づくことが導かれる。

Fn+1/Fn＝={1:1,1,・・・,1]

(Fn,Fn+1)=1

Fn-1Fn-Fn-2Fn+1=(-1)^n

Fn-kFm-k-FnFm=(-1)^nFm-n-kFk

Fn+m=FmFn+1+Fm-1Fn

(Fm,Fn)=F(m,n)

F2n=FnLn

L2n=(Ln)^2-2(-1)^n

F2n+1=(Fn)^2+(Fn+1)^2

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α=(1+√5)/2,β=(1+√5)/2とおくと

Fn=1/√5・(α^n-β^n)

Ln=(α^n+β^n)

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A=[0,1]

{1,1]とすると,|A^n|=(-1)^n

A^n=[Fn-1,Fn]

[Fn,Fn+1]

|A^n|=(-1)^n

Fn+1Fn-1-(Fn)^2=(-1)^n

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同様に

Ln+1Ln-1-(Ln)^2=5(-1)^n+1であるが

[Ln ]=[Fn-1,Fn][2]

[Ln+1] [Fn,Fn+1][1]

[Ln-1]=[Fn-1,Fn][-1]

[Ln ] [Fn,Fn+1][2]

合わせると

[Ln-1,Ln]=[Fn-1,Fn][-1,2]

[Ln,Ln+1] [Fn,Fn+1][2,1]

行列式をとるとLn+1Ln-1-(Ln)^2=5(-1)^n+1を得る

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