４次元正５胞体を２次元平面上に直投影するとその外形は正三角形，正方形，正五角形など様々に変化する．とくに正五角形に中にすべての対角線を入れた図はペンタグラムそのものとなる．４次元正５胞体を３次元空間内に直投影した立体図形でもさまざまに変化する外殻の中に１種類だけの正多面体が集まる３次元立体が得られる．

　乙部住職の立体ペンタグラムは，３次元空間に５点を配置して見る角度によって正三角形，正方形，正五角形に見えるものを作るという問題と捉えることもできる．

　ところで円通寺のある南千住といえばかつてお化け煙突があった近くである．お化け煙突は見る角度によって２本にも３本にも４本にも見えるという不思議な煙突であった．乙部住職の「立体ペンタグラム」は３次元空間の「お化け煙突」という面白い話題であるが，（その１）ではいい製作方法が思いつかなかった．しかも，正５胞体を等辺等角のまま変形させて３次元に退化させようとしたところ，３次元を通り越して一気に２次元まで退化してしまうのだ．

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この問題については、以前途中まで計算したことが合ったのであるが、中断してしまった。

考え方の基本は、三角錐は正三角形と正四角形にみえる方向があるので、重三角錐型を考えて、それがうまく正五角形になればよい。

しかし３点が直線上に並んでは駄目である。そのような最適配置は？

そのうち、再開したいと思う。

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［☆］私の考えた方法は２次元平面上に直投影するとその外形が正五角形になることより，３次元空間に投影された５点を

　　Ｐ0（1，0，0）

　　Ｐ1（cos(2π/5)，sin(2π/5)，ｚ1）

　　Ｐ2（cos(4π/5)，sin(4π/5)，ｚ2）

　　Ｐ3（cos(6π/5)，sin(6π/5)，ｚ3）

　　Ｐ4（cos(8π/5)，sin(8π/5)，ｚ4）

とするものであったが，その際，ｚ2＝ｚ3＝０，ｚ1＝ｚ4とおいたことがつまずきの原因であった．乙部住職の方法をこの方法に従って表記すると

　　ｚ3＝−ｚ2，ｚ4＝−ｚ1

となる．

［△］ここで，３点（Ｐ0，Ｐ2，Ｐ3）が正三角形をなすとするとＰ0Ｐ2＝Ｐ2Ｐ3であるから

　　(ｃｏｓ(4π/5)-1)^2＋(ｓｉｎ(4π/5))^2＋ｚ2^2=(2ｓｉｎ(4π/5))^2＋(2ｚ2^2）^2

　　ｚ2^2＝−(ｓｉｎ(4π/5))^2＋(ｃｏｓ(4π/5)-1)^2/3

　　→　ｚ2＝０．８６３３３８

［□］また，直投影するとその外形が正方形になることよりＰ2Ｐ3＝Ｐ1Ｐ4，したがって，

　　(2ｓｉｎ(4π/5))^2＋(2ｚ2^2）^2=(2ｓｉｎ(2π/5))^2＋(2ｚ1^2）^2

　　→　ｚ1＝−０．４３１６６９

　以上より

　　Ｐ0(1,0,0)

　　Ｐ1(0.309018,0.951059,-0.43166)

　　Ｐ2(-0.808016,0.587787,0.863338)

　　Ｐ3(-0.809019,-0.587783,-0.863338)

　　Ｐ4(0.309013,-0.951058,0.431661)

が得られる．

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