■シュレーフリの四直角三角錐定理(その9)

 シュレーフリの公式は,四面体の各面の面積をA,二面角のコサインをcとすると,

  A1=c12A2+c13A3+c14A4

  A2=c21A1+c23A3+c24A4

  A3=c31A1+c32A2+c34A4

  A4=c41A1+c42A2+c43A3

なのであるが,これがシュレーフリの公式の各行となる.

 | 1,-c12,-c13,-c14|

 | -c21,1,-c23,-c24|=0

 | -c31,-c32,1,-c34|

 | -c41,-c42,-c43,1|

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したがって、基本単体を考えるならば、

 | 1,-cosα,0,0|

 | -cosα,1,-cosβ,0|

 | 0,-cosβ,1,-cosγ|

 | 0,0,-cosγ,1|

=(cosα)^2(cosγ)^2-(cosα)^2-(cosβ)^2-(cosγ)^2+1

=(sinα)^2(sinγ)^2-(cosβ)^2

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ユークリッド空間の基本単体では

(sinα)^2(sinγ)^2-(cosβ)^2=0

sinαsinγ-cosβ=0

正四面体ではα=π/3,β=π/3→√3sinγ=1

正八面体ではα=π/3,β=π/4→√3sinγ= √2

正20面体ではα=π/3,β=π/5→√3sinγ=2φ

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正八面体では

1   1   1   1   1

  2   2   1   3

    3   1   2

      1   1

        0

とおけて

(tanα)^2=3

(tanβ)^2=1

(tanγ)^2=2

正八面体ではα=π/3,β=π/4→√3sinγ=√2と一致  

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kaleidoscope, p117より

a=(1/2)^1/2, b=(1/6)^1/2,c=(1/3)^1/2

正八面体では

aj=(2/j(j+1))^1/2, an=(2/n)^1/2

n=3, j=1,a1=1

n=3, j=2,a2=(1/3)^1/2

n=3, j=3,a3=(2/3)^1/2

で一致

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立方体では

1   1   1   1   1

  1   2   2   1

    1   3   1

      1   1

        0

とおけて

(tanα)^2=1

(tanβ)^2=3

(tanγ)^2=1

α=π/4,β=π/3→一致  

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a=(1)^1/2, b=(1)^1/2,c=(1)^1/2→一致

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kaleidoscope, p102-103

(-1,0),(0,1),(1,2),(2,3),(3,4)

(-1,1),(0,2),(1,3),(2,4)

(-1,2),(0,3),(1,4)

(-1,3),(0,4)

(-1,4)

正四面体ではNG

1   1   1   1   1

  2   2   2   2

    3   3   3

      4   4

        5

正四面体ではα=π/3,β=π/3→√3sinγ=1

(tanα)^2=3

(tanβ)^2=3

(tanγ)^2=1/2

正四面体では

1   1   1   1   1

  1/2   8   1/2   3

    3   3   1/2

      1   1

        0

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a=(2)^1/2, b=(2/3)^1/2,c=(1/3)^1/2→一致

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