■シュレーフリの四直角三角錐定理(その4)

 シュレーフリの公式は,四面体の各面の面積をA,二面角のコサインをcとすると,

  A1=c12A2+c13A3+c14A4

  A2=c21A1+c23A3+c24A4

  A3=c31A1+c32A2+c34A4

  A4=c41A1+c42A2+c43A3

なのであるが,これがシュレーフリの公式の各行となる.

 | 1,-c12,-c13,-c14|

 | -c21,1,-c23,-c24|=0・・・ユークリッド単体

 | -c31,-c32,1,-c34|

 | -c41,-c42,-c43,1|

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この2次元版を考える

 | 1,-c12,-c13|

 | -c21,1,-c23|=0・・・ユークリッド単体

 | -c31,-c32,1|

=|1,-c23|+c12|-c21,-c23|-c13| -c21, 1|

|-c32,1| |-c31, 1| | -c31,-c32|

=1-(cosB)^2+cosA(-cosA-cosBcosC)-cosC(cosAcosB+cosC)

=1-(cosB)^2-(cosA)^2-(cosC)^2-2cosAcosBcosC

cosC=cos(π-A-B)=-cos(A+B)のとき、0になることを確かめる

-(cosC)^2-2cosAcosBcosC=-(cos(A+B))^2+2cosAcosBcos(A+B)

=cos(A+B){-cos(A+B)+2cosAcosB}

=cos(A+B){cos(A-B)}

=1/2{cos2A+cos2B}=1/2{2(cosA)^2-1+2(cosb)^2-1}=-1+(cosB)^2+(cosA)^2

すなわち、A+B+C=π

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