■ディリクレの鳩(その76)

 abc予想(マッサー・エステルレ,1985年)は足し算的性質とかけ算的性質が複雑に絡み合った問題です.

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【1】根基

 たとえばn=24の場合,素因数分解は

  24=2^3・3^1

ですが,底に現れる指数を全部1にしたものを根基と呼ぶ.すなわち,

  rad(24)=2^1・3^1=6

 6の倍数の根基はすべて6になるわけではない.

  rad(6)=rad(12)=rad(18)=rad(24)

 =rad(36)=rad(48)=rad(72)

 ≠rad(30)

 ≠rad(42)

 また,rad(p)=p,rad(1)=1

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【2】abc三つ組

 互いに素な自然数a,bを考える.たとえばa=10,b=21のとき,

  rad(10)=2・5=10

  rad(24)=3・7=21

また,c=a+b,d=rad(abc)とする.

 a=10,b=21,c=31のとき

 d=rad(10・21・31)=10・21・31

 多くの場合,d>cである.

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[1]a=5,b=7,c=12=2^2・3

 d=rad(abc)=5・7・6>c

[2]a=11,b=25=5^2,c=36=2^2・3^2

 d=rad(abc)=11・5・6>c

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 しかし,例外もあり

[3]a=1,b=8=2^3,c=9=3^2

 d=rad(abc)=1・2・3<c

[4]a=5,b=27=3^3,c=32=2^5

 d=rad(abc)=5・3・2<c

 cが5万未満では,(a,b,c)は3.8億通り.それに対して,例外的(a,b,c)は276通りと非常に少ない.

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【3】abc予想(マッサー・エステルレ,1985年)

 互いの素な自然数の組(a,b),c=a+b,d=rad(abc)に対して

  c>d^(1+ε)

となるabc三つ組は高々有限個である.

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【4】強いabc予想

 互いの素な自然数の組(a,b),c=a+b,d=rad(abc)に対して必ず

  c<d^2

となる.

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【5】強いabc予想とフェルマーの最終定理

 強いabc予想を仮定すると

 a=x^n,b=y^n,c=x^n+y^n

 z^n<{rad(x^ny^nz^n)}^2={rad(xyz)}^2≦(xyz)^2≦z^6

 これはnが6より小さいことを示しているが,n=3,4,5の場合,が正しいことは証明済み.よって,フェルマーの最終定理が証明されたことになる.

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