２０１２年８月，望月新一先生（京都大学）がａｂｃ予想の証明をしたとのニュースが流れた．ａｂｃ予想とは方程式ａ＋ｂ＝ｃをみたす互いに素な自然数ａ，ｂ，ｃについて，ｃを積ａｂｃの素因子成分によって上から抑えるという不等式予想である．これが成立するとフェルマー・ワイルズの定理やモーデル・ファルティングスの定理の簡単に証明（別証）することができるという．

［補］アルティンの原始根予想，すなわち，ａを原始根にもつ素数は無限個存在するという予想は，一般化されたリーマン予想を仮定すれば成立することがわかっている．また，アルティンの原始根予想の関数体版はすでに証明されている．

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【１】フェルマー・ワイルズの定理の類似物

　フェルマー・ワイルズの定理『ｘ^n＋ｙ^n＝ｚ^nでｎ≧３のとき，ｘ，ｙ，ｚは正の整数解をもたない』をご存じの方は多いだろう．

　ところで，多項式に対するフェルマー・ワイルズの定理の類似

『方程式ｘ（ｔ）^n＋ｙ（ｔ）^n＝ｚ（ｔ）^nでｎ≧３のとき，定数でない互いに素なｘ（ｔ），ｙ（ｔ），ｚ（ｔ）は存在しない』も成り立つ．しかもそれは１９世紀には知られていたようである．（リュービル，１８７９年）

　代数幾何学を使って証明されたのであるが，メーソン・ストーサーズの定理を使えばすごく簡単に証明できるという．

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【２】メーソン・ストーサーズの定理（１９８３年）

　　ｆ（ｔ）＝ｃ1Π（ｔ−αi）^mi

　　ｄｅｇｆ＝ｍ1＋ｍ2＋・・・＋ｍr　　（次数）

　　ｒ（ｆ）＝ｒ　　（互いに異なる根の数）

で表す．

　　ｇ（ｔ）＝ｃ2Π（ｔ−βj）^nj

　　ｈ（ｔ）＝ｃ3Π（ｔ−γk）^lk

　「ｆ＋ｇ＝ｈのとき，

　　ｍａｘ（ｄｅｇｆ，ｄｅｇｇ，ｄｅｇｈ）≦ｒ（ｆｇｈ）−１

が成り立つ．」

　すなわち，この定理はｆ＋ｇ＝ｈという関係によってｆ，ｇ，ｈの次数には上界が定められること，その上界はｆｇｈの相異なる根の数−１であることを主張している．多項式について，このような結果が２０世紀も終わりに近づいた１９８０年代になってようやく発見されたのは驚きを禁じ得ない．

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【３】証明

　ｆ＝ｘ^n，ｇ＝ｙ^n，ｈ＝ｚ^nとおくと，メーソン・ストーサーズの定理により

　　ｄｅｇｘ^n≦ｒ（ｘ^nｙ^nｚ^n）−１

ところが，ｄｅｇｘ^n＝ｎ・ｄｅｇｘ，ｒ（ｘ^n）＝ｒ（ｘ）≦ｄｅｇｘより

　　ｎ・ｄｅｇｘ≦ｄｅｇｘ＋ｄｅｇｙ＋ｄｅｇｚ−１

同様に

　　ｎ・ｄｅｇｙ≦ｄｅｇｘ＋ｄｅｇｙ＋ｄｅｇｚ−１

　　ｎ・ｄｅｇｚ≦ｄｅｇｘ＋ｄｅｇｙ＋ｄｅｇｚ−１

　辺々を加えると

　　（ｎ−３）（ｄｅｇｘ＋ｄｅｇｙ＋ｄｅｇｚ）≦−３

このような不等式は成り立たないので，これで多項式に対するフェルマの最終定理の類似が証明されたことになる．

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【４】メーソン・ストーサーズの定理の類似（ａｂｃ予想）

　多項式に対するフェルマーの最終定理の類似はわかったが，それでは整数に関するメーソン・ストーサーズの定理の類似はどうなるのだろう？　この代数幾何学と数論の相互転化がどのような形になるのかを知る人はたとえいたとしても非常に少ないであろう．

　ｍの素因数分解を

　　ｍ＝Πｐi^mi

とすると，多項式の次数ｄｅｇに相当するものは

　　ｌｏｇｍ＝Σｍiｌｏｇｐi

互いに異なる根の数に相当するものは

　　Ｒ＝Σｌｏｇｐi

と定義するのだが，互いに素な整数でａ＋ｂ＝ｃを満たすものすべてについて，不等式

　　ｍａｘ（｜ａ｜，｜ｂ｜，｜ｃ｜）≦Ｒ（ａｂｃ）

は一般に成り立たない．

　また，

　　ｍａｘ（｜ａ｜，｜ｂ｜，｜ｃ｜）≦Ｋ・Ｒ（ａｂｃ）

が成り立つような定数Ｋも存在しないのだが，不等式を弱いものにした

　　ｍａｘ（｜ａ｜，｜ｂ｜，｜ｃ｜）≦Ｋ・Ｒ（ａｂｃ）^(1+ε)

が成り立つと予想されている（ａｂｃ予想，１９８６年）．

　ほとんど証明抜きでスケッチ程度に解説したが，ａｂｃ予想は数論と方程式論の両方にまたがる２０世紀における最高の予想のひとつとされる．

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