■ディリクレの鳩(その71)

 多項式f(x)=0の異なる根の個数をN(f)で表す.

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【1】メーソン・ストーサーズの定理(1983年)

 「互いに素な多項式f,g,hがf+g+h=0を満たせば,

  max(degf,degg,degh)≦N(fgh)−1

が成り立つ.」

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【2】補題

 多項式fに対して,

  f~=GCD(f,f’)

とおく.このとき

  N(f)=degf−degf’

が成り立つ.

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【3】証明

 f,g,hは互いに素であるから

  N(fgh)=N(f)+N(g)+N(h)−N(f~g~h~)

 f+g+h=0を微分するとf’+g’+h’=0であるから

  Φ=|a ,b |=|c ,a |

    |a’,b’| |c’,a’|

  deg(f~g~h~)≦degΦ≦degf+degg−1

  deg(h)≦N(fgh)−1

同様に

  deg(f)≦N(fgh)−1

  deg(g)≦N(fgh)−1

これらをまとめると

  max(degf,degg,degh)≦N(fgh)−1

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【4】例題

 たとえば,f=(x^n−1)^2,g=−(x^n+1)^2,h=4x^nのとき,等号が成立する.

  degf=2n,degg=2n,degh=n

  max(degf,degg,degh)=2n

  fgh=−4x^n(x^2n−1)^2

  N(fgh)=2n+1,N(fgh)−1=2n

  [参]酒井文雄「平面代数曲線」共立出版

  

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