ａｂｃ予想（マッサー・エステルレ，１９８５年）は足し算的性質とかけ算的性質が複雑に絡み合った問題です．

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【１】根基

　たとえばｎ＝２４の場合，素因数分解は

　　２４＝２^3・３^1

ですが，底に現れる指数を全部１にしたものを根基と呼ぶ．すなわち，

　　ｒａｄ（２４）＝２^1・３^1＝６

　６の倍数の根基はすべて６になるわけではない．

　　ｒａｄ（６）＝ｒａｄ（１２）＝ｒａｄ（１８）＝ｒａｄ（２４）

　＝ｒａｄ（３６）＝ｒａｄ（４８）＝ｒａｄ（７２）

　≠ｒａｄ（３０）

　≠ｒａｄ（４２）

　また，ｒａｄ（ｐ）＝ｐ，ｒａｄ（１）＝１

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【２】ａｂｃ三つ組

　互いに素な自然数ａ，ｂを考える．たとえばａ＝１０，ｂ＝２１のとき，

　　ｒａｄ（１０）＝２・５＝１０

　　ｒａｄ（２４）＝３・７＝２１

また，ｃ＝ａ＋ｂ，ｄ＝ｒａｄ（ａｂｃ）とする．

　ａ＝１０，ｂ＝２１，ｃ＝３１のとき

　ｄ＝ｒａｄ（１０・２１・３１）＝１０・２１・３１

　多くの場合，ｄ＞ｃである．

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［１］ａ＝５，ｂ＝７，ｃ＝１２＝２^2・３

　ｄ＝ｒａｄ（ａｂｃ）＝５・７・６＞ｃ

［２］ａ＝１１，ｂ＝２５＝５^2，ｃ＝３６＝２^2・３^2

　ｄ＝ｒａｄ（ａｂｃ）＝１１・５・６＞ｃ

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　しかし，例外もあり

［３］ａ＝１，ｂ＝８＝２^3，ｃ＝９＝３^2

　ｄ＝ｒａｄ（ａｂｃ）＝１・２・３＜ｃ

［４］ａ＝５，ｂ＝２７＝３^3，ｃ＝３２＝２^5

　ｄ＝ｒａｄ（ａｂｃ）＝５・３・２＜ｃ

　ｃが５万未満では，（ａ，ｂ，ｃ）は３．８億通り．それに対して，例外的（ａ，ｂ，ｃ）は２７６通りと非常に少ない．

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【３】ａｂｃ予想（マッサー・エステルレ，１９８５年）

　互いの素な自然数の組（ａ，ｂ），ｃ＝ａ＋ｂ，ｄ＝ｒａｄ（ａｂｃ）に対して

　　ｃ＞ｄ^(1+ε)

となるａｂｃ三つ組は高々有限個である．

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【４】強いａｂｃ予想

　互いの素な自然数の組（ａ，ｂ），ｃ＝ａ＋ｂ，ｄ＝ｒａｄ（ａｂｃ）に対して必ず

　　ｃ＜ｄ^2

となる．

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【５】強いａｂｃ予想とフェルマーの最終定理

　強いａｂｃ予想を仮定すると

　ａ＝ｘ^n，ｂ＝ｙ^n，ｃ＝ｘ^n＋ｙ^n

　ｚ^n＜｛ｒａｄ（ｘ^nｙ^nｚ^n）｝^2＝｛ｒａｄ（ｘｙｚ）｝^2≦（ｘｙｚ）^2≦ｚ^6

　これはｎが６より小さいことを示しているが，ｎ＝３，４，５の場合，が正しいことは証明済み．よって，フェルマーの最終定理が証明されたことになる．

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