無限個の近似分数列｛ａn／ｂn｝で非常によく近似できる実数αについて

　　｜α−ａn／ｂn｜＜１／ｂn^2

が成立するならば，αは無理数です（ディリクレの定理：右辺はこの定数倍でもよい）．

　αが有理数ならば，

　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／ｂ^2

を満たすものは有限個しか存在しないので，無限個の有理数で

　　｜α−ａn／ｂn｜＜１／ｂn^2

を満たすものが存在するというのは無理数特有の性質といえます．

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【１】ディリクレの定理の証明

　αが有理数で，α＝ｐ／ｑと表されたとする．｛ｂn｝は次々に大きくなる整数列であるから，ｑ＜ｂnである番号をとると

　　｜α−ａn／ｂn｜＝｜ｐ／ｑ−ａn／ｂn｜＝｜ｐｂn−ｑａn｜／ｑｂn

　しかし，ａn／ｂnはαとは一致しないので分子は１以上．したがって

　　｜α−ａn／ｂn｜≧１／ｑｂn

であるが，これが＜１／ｂn^2なのでｑ＞ｂnとなり矛盾．すなわち，αは有理数ではあり得ないことになる．

　このように，「ディリクレの定理」の証明は，引き出し論法あるいは鳩の巣原理と呼ばれるものから容易に導かれる．この原理はｎ個の巣箱にｎ＋１羽の鳩が入っているならば，ある巣箱には少なくとも２羽の鳩が入っていなければならないというものである．

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