■ディリクレの鳩(その41)

 abc予想にはいくつかの同値な予想がいくつか知られていた.たとえば楕円曲線のスピロ予想.望月新一先生解決したと述べているのは,スピロ予想である.

 また,abc予想の帰結もいくつか知られている.

[1]フェルマーの最終定理

[2]ダーモン・グランヴィルの定理

[3]フェルマー・カタラン予想

[4]タイダマン・ザギエ予想

[5]ピライ予想

[6]ホール・ラング・バルトシュミット・スピロ予想

 これら詳細については

 [参]安福悠「発見・予想を積み重ねる−それが整数論」オーム社

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【1】ビール予想(タイデマン・ザギエ予想)

  x^p+y^q=z^r

たとえば,1^n+2^3=3^2(カタラン),2^5+7^2=3^4,7^3+13^2=2^9,2^7+17^3+71^2,3^5+11^4=122^2,17^7+76271^3=21063928^2,1414^3+2213459^2=65^7,9262^3+15312283^2=113^7,43^8+96222^3=30042907^2,33^8+1549034^2=15613^3などの指数p,q,rのどれかは2である.

  x,y,zのどの2つも互いに素,p,q,rが3以上ならば,x^p+y^q=z^rを満たすものは存在しない

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【2】フェルマー・カタラン予想

  x,y,zのどの2つも互いに素,1/p+1/q+1/r<1ならば,x^p+y^q=z^rを満たすものは有限個しかない.

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