■ディリクレの鳩(その38)

 2次の無理数では,ある数cが存在して

  |α−p/q|>c/q^2

がすべての有理数p/qに対して成り立つことが導かれたが,リューヴィルはこのような定理がより一般の任意の代数的無理数に対しても成立することを証明した.

 αをn次の整数係数方程式の根とする(f(α)=0).すなわち,代数的数αの次数をn(≧2)とすると,

  |α−p/q|>c/q^n

がすべての有理数p/qに対して成り立つ(リューヴィルの定理,1844年).

===================================

【1】ロスの定理

 それでは,代数的数αに対して

   |α−p/q|<1/q^k

を満たす有理数a/bは有限個しかないというkはいくつになるのだろうか?  あるいは,任意の数cに対して

  |α−p/q|>c/q^k

がすべての有理数p/qに対して成り立つkはいくつになるのだろうか?

 この固定された指数kを改良するために多くの研究がなされた.100年以上の挑戦の末得られた「ロスの定理」は最良のものである.

  k≧n   (リューヴィル,1844)

  k>n/2+1   (トゥエ,1909)

  k>2√n   (ジーゲル,1921)

  k>√(2n)   (ダイソン,ゲルファント,1947)

  k>2   (ロス,1955)

 nが十分大きいならば,

  n>n/2+1>2√n>√(2n)>2

求めている近似の精度は緩くなるが,それでも近似分数の有限性がいえているので,強い結果となっている.

 ディリクレの定理によると1/q^2未満に近似する分数p/qは無限個あり,ロスの定理によると,少しでも2を越えると有限湖となるので,2がちょうど境目となり,最良の結果であることがわかるだろう.

 この功績でロスはフィールズ賞を受賞している(1958年).100年以上の挑戦の末,積み上げられた受賞である.

[補]ロスはドイツの数学者なので,ロートと訳すべき?

===================================