■ディリクレの鳩(その33)

 無理数αの近似分数をa/bとすると,

  |α−a/b|<1/2b^2

を満たすような無限個の分数a/bが存在する.

 2次の近似であるが,この定数2は最良のものではない.λ>√5に対しても

   |α−a/b|<1/λb^2

を満たす有理数a/bが有限個しかない無理数αが存在する.しかし,λは3より小さくすることはできない.

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 πの連分数展開は

  π=[3:7,15,1,292,・・・]

 これから,近似値

  3,22/7,333/106,355/113,103993/33102,・・・

が得られる.

 無限個の近似値が得られるが,条件を厳しくする.たとえば,

  |π−a/b|<1/b^20

には,有限個の整数解(a,b)しかない.

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