無理数αの近似分数をａ／ｂとすると，

　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／２ｂ^2

を満たすような無限個の分数ａ／ｂが存在する．２次の近似であるが，この定数２は最良のものではない．

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【１】フルヴィッツ・ボレルの定理

　　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／√５ｂ^2

を満たす有理数ａ／ｂは無限に多く存在する．一方，λ＞√５に対しても

　　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／λｂ^2

を満たす有理数ａ／ｂが有限個しかない無理数αが存在する．

　　λ＝［１：１，１，１，・・・］＋［０：１，１，１，・・・］＝φ＋１／φ＝√５

　すべての無理数のなかで，最も有理近似を嫌う数は黄金比

　　φ＝（１＋√５）／２＝［１：１，１，１，・・・］

である．

　この定数√５は最良のもので，これより大きな数に置き換えることはできないが，黄金比φのようにαの連分数展開が有限個を除いてすべて１になる無理数

　　α＝［ａ0：ａ1，ａ2，・・・，ａr，１，１，１，・・・］

を除外すれば，√５の代わりに√８を用いても成り立つ．

　　λ＝［２：２，２，２，・・・］＋［０：２，２，２，・・・］＝１＋√２＋１／（１＋√２）＝√８

　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／√８ｂ^2

　次に問題になるのは

　　√２＝［１：２，２，２，・・・］

　　１＋√２＝［２：２，２，２，・・・］

のようなαの連分数展開が有限個を除いてすべて２になる無理数で，それを除くと定理を

　　λ＝［２：２，１，１，２，２，１，１，・・・］＋［０：１，１，２，２，２，１，１，２，２，・・・］＝（９＋√２２１）／１０＋（−９＋√２２１）／１０＝√（２２１／２５）

　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／√（２２１／２５）ｂ^2

に改良できる．

　同様の改良を続けていったときの定数√５，√８，√（２２１／２５），・・・がラグランジュ数である．それらは

　　√（９−４／ｍ^2）

において，それぞれｍ＝１，２，５とおいたものである．結果として得られる数は３に収束する．

　　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／λｂ^2

のλは３より小さくすることはできない．

　　ｍ＝１，２，５，１３，２９，３４，８９，１６９，１９４，２３３，４３３，６１０，９８５，・・・

はマルコフ数と呼ばれる．マルコフ数は２次のディオファントス方程式

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚ

の解として現れる．大いに興味をかき立ててきたディオファントス方程式である．たとえば（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１，１，１），（２，１，１），（５，１，２），（１３，１，５），（２９，５，２），・・・

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