【１】大円弧３２面体

それでは、７２度３０本でできたねじれ１２面体についてもお願いします。

球面距離２４度の正五角形１２個と

球面距離４８度の正三角形２０個で、４πとなるのかということです。　　（中川宏）

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【２】球面三角法

　半径１の球面（単位球面）上に３点Ａ，Ｂ，Ｃがあり，それぞれが大円の弧で結ばれているものとします．球面三角形ＡＢＣの３辺の長さ（球面距離）をａ，ｂ，ｃで表すとそれぞれ大円の中心角となります．すなわち，単位球では球面距離を中心角と同一視できるわけです．また，内角Ａ，Ｂ，Ｃは大円同士が交わる面角の大きさです．

　球面三角法の公式は多数ありますが，計算に便利なように単位球における式として与えられています．ここで用いるのは

　　ｃｏｓｃ＝ｃｏｓａ・ｃｏｓｂ＋ｓｉｎａ・ｓｉｎｂ・ｃｏｓＣ

とその巡回置換，それに球面三角形ＡＢＣの面積Ｓを角過剰として表した

　　Ｓ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ−π

の２つだけです．

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　　ｃｏｓ48＝ｃｏｓ48・ｃｏｓ48＋ｓｉｎ48・ｓｉｎ48・ｃｏｓＣ0

ｃｏｓＣ0=(ｃｏｓ48-ｃｏｓ48・ｃｏｓ48)/ｓｉｎ48・ｓｉｎ48

　Ｓ＝３Ｃ0−π

　球面三角形の総面積はSが20枚あるので

　　20S

となるというわけです．

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正五角形の１辺の長さをaとすると対角線の長さはaφです

　次に，正五角形の辺に対する中心角θ1=12度と対角線に対する中心角θ2を求めたいのですが

　　ｓｉｎ（24／２）＝a

　　ｓｉｎ（θ2／２）＝aφ=φsin(12)

より，

　　θ1＝24

　　θ2＝２ａｒｃｓｉｎ（φsin(12)）

　切断面の正五角形のある頂点から対辺に向けて２本の対角線を引くと，正五角形が３個の三角形に分割されます．そして２本の辺と１本の対角線からなる三角形ＡＢＣに対しては，球面三角法の公式

　　ｃｏｓθ2＝ｃｏｓ^2θ1＋ｓｉｎ^2θ1ｃｏｓＣ

　　ｃｏｓθ1＝ｃｏｓθ1ｃｏｓθ2＋ｓｉｎθ1ｓｉｎθ2ｃｏｓＡ

　　ｃｏｓθ1＝ｃｏｓθ1ｃｏｓθ2＋ｓｉｎθ1ｓｉｎθ2ｃｏｓＢ

が成立しますから

　　Ｃ＝ａｒｃｃｏｓ（（ｃｏｓθ2−ｃｏｓ^2θ1）／ｓｉｎ^2θ1）

　　Ａ＝Ｂ＝ａｒｃｃｏｓ（（ｃｏｓθ1−ｃｏｓθ1ｃｏｓθ2）／ｓｉｎθ1ｓｉｎθ2）

より，球面三角形の面積

　　Ｓ1＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ−π

が求まります．

　１本の辺と２本の対角線からなる三角形ＸＹＺに対しても，

　　ｃｏｓθ1＝ｃｏｓ^2θ2＋ｓｉｎ^2θ2ｃｏｓＺ

　　ｃｏｓθ2＝ｃｏｓθ1ｃｏｓθ2＋ｓｉｎθ1ｓｉｎθ2ｃｏｓＸ

　　ｃｏｓθ2＝ｃｏｓθ1ｃｏｓθ2＋ｓｉｎθ1ｓｉｎθ2ｃｏｓＹ

が成立しますから

　　Z＝ａｒｃｃｏｓ（（ｃｏｓθ1−ｃｏｓ^2θ2）／ｓｉｎ^2θ2）

　　X＝Y＝ａｒｃｃｏｓ（（ｃｏｓθ2−ｃｏｓθ1ｃｏｓθ2）／ｓｉｎθ1ｓｉｎθ2）

より，

　　Ｓ2＝Ｘ＋Ｙ＋Ｚ−π

　球面五角形の総面積は

　　２Ｓ1＋Ｓ2

が１２枚あるので

　　１２（２Ｓ1＋Ｓ2）

となるというわけです．

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ここで、C=A+X=2A+Zが成り立つかどうか？

C0+C=πが成り立つかどうか？

確認しておく必要がある。

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大円ではないのかもしれません。小円だとすると計算は難しいでしょうね。

ねじれ１２面体は、一目で大円を外れていますので、難しいかもしれません。

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球面距離２４度の正五角形１２個と

球面距離４８度の正三角形２０個を固定すると

球面距離29.06756度の正五角形１２個となった。

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等間隔になるような値を求めることはできませんか？

B=A/2となるように計算するとB=52.2811となった。

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この大円弧多面体はねじれ１２面体をもとに設計されている。

ねじれ１２面体を外接球上に投影してたものが大円になるのであることがわかっていれば、

ねじれ１２面体の２頂点のなす中心角を求めることも考えられ、そのほうが簡単と思われる。

ねじれ１２面体を外接球上に投影しても大円になるかどうかわからないため、４πとなる中心角を求めた。

その後の中川さんの検討では、大円弧でよさそうだということであった。

非常に興味深い構造物である。私はフラーのgeodesic domeは面白みに欠ける構造物と感じていたので、建築関係の学会で発表されてみてはとお勧めした。

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