［Ｑ］平面三角形ＡＢＣ内に一点Ｐに対し，

　　ＡＢ＋ＡＣ＞ＰＢ＋ＰＣ

であることを証明せよ．

［Ａ］三角不等式より，ＡＢ＋ＡＣ＞ＢＣ，ＡＰ＋ＰＢ＞ＡＢ，ＡＰ＋ＰＣ＞ＡＣ，ＰＢ＋ＰＣ＞ＢＣとしてもうまくいかない．

　ＡＰの延長が辺ＢＣと交わる点をＸとする．線分ＡＰ上に任意の点Ｙをとると

　　ＹＢ＞ＰＢ，ＹＣ＞ＰＣ，ＹＢ＋ＹＣ＞ＰＢ＋ＰＣ

Ｙ→Ａとすれば

　　ＡＢ＋ＡＣ＞ＰＢ＋ＰＣ

が成り立つ．

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［Ｑ］３次元の四面体ＡＢＣＤ内に一点Ｐに対し，

　　ＡＢ＋ＡＣ＋ＡＤ＞ＰＢ＋ＰＣ＋ＰＤ

は成立するか？

［Ａ］成立するなら証明し，成立しなければ反例を示さなければならない．

　ＡＰの延長が面ＢＣＤと交わる点をＸとする．線分ＡＰ上に任意の点Ｙをとると

　　ＹＢ＞ＰＢ，ＹＣ＞ＰＣ，ＹＤ＞ＰＤ，ＹＢ＋ＹＣ＋ＹＤ＞ＰＢ＋ＰＣ＋ＰＤ

Ｙ→Ａとすれば

　　ＡＢ＋ＡＣ＋ＡＤ＞ＰＢ＋ＰＣ＋ＰＤ

が成り立つ・・・こうすれば，前問同様，成立するように思われるかもしれない．

　しかし，それは手抜き？思い込み？疑ってみる気がない？であって，実は成立しないのだそうだ．

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［まとめ］三角形では成り立っても，四面体では成立しない．反例として，正三角形に退化した正四面体を考えると，

　　ＡＢ＋ＡＣ＋ＡＤ＝（正三角形の中線の長さの２倍）

であるが，点ＰをＢにとると

　　ＰＢ＋ＰＣ＋ＰＤ＝（正三角形の辺の長さの２倍）

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