■三角法と球面三角法(その5)

 三角形公式集を.

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【1】内接円の関数として

  2△=(a+b+c)r

  asinA/2=bsinB/2=csinC/2=r

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【2】外接円の関数として

  a=2RsinA

  b=2RsinB

  c=2RsinC

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【3】一般的公式

  a=bcosB+ccosC

  b=ccosC+acosA

  c=acosA+bcosB

→acosA=(b+c−a)/2

 bcosB=(c+a−b)/2

 ccosC=(a+b−c)/2

  a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

→sinA=2R/a,sinB=2R/b,sinC=2R/c

  a^2=b^2+c^2−2bccosA

  b^2=c^2+a^2−2cacosB

  c^2=a^2+b^2−2abcosC

→cosA=(b^2+c^2−a^2)/2bc

 cosB=(c^2+a^2−b^2)/2ca

 cosC=(a^2+b^2−c^2)/2ab

  2△=absinC=bcsinA=casinB

→sinA=2△/bc,sinB=2△/ca,sinC=2△/ab

  abc=4R△,(a+b+c)r=2△

  abc=2R(a+b+c)r

  abc/4△=R,r=2△/(a+b+c)

  Rr^2=abc△/(a+b+c)^2

  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

  cotA/2+cotB/2+cotC/2=cotA/2cotB/2cotC/2

  sinA+sinB+sinC=4cosA/2cosB/2cosC/2

  cosA+cosB+cosC=1+4sinA/2sinB/2sinC/2

  sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC

  sin3A+sin3B+sin3C=−4cos3A/2cos3B/2cos3C/2

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【4】ヘロンの公式

 ヘロンの公式とは,

Δ^2=(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2−a^4−b^4−c^4)/16

  =(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)/16

ここで、2s=a+b+cとおくと

Δ^2=s(s−a)(s−b)(s−c)

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