■球面三角法(その1)

【1】球面三角法

 半径1の球面(単位球面)上に3点A,B,Cがあり,それぞれが大円の弧で結ばれているものとします.球面三角形ABCの3辺の長さ(球面距離)をa,b,cで表すとそれぞれ大円の中心角となります.すなわち,単位球では球面距離を中心角と同一視できるわけです.また,内角A,B,Cは大円同士が交わる面角の大きさです.

 球面三角法の公式は多数ありますが,計算に便利なように単位球における式として与えられています.「サイコロの数理」で用いたのは平面三角形の余弦定理に該当する

  cosc=cosa・cosb+sina・sinb・cosC

とその巡回置換,それに球面三角形ABCの面積Sを角過剰として表した

  S=A+B+C−π

の2つだけです.

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【2】正多面体群

 SO(3)の運動群T,O,I

  T=A3,O=S4,I=A5

をそれぞれ正四面体群,正八面体群,正二十面体群と呼ぶ.正八面体群を立方体群,正二十面体群を正十二面体群と呼んでも良いのかもしれないが,面が三角形であるほうで呼ぶのが慣例である(不公平?).

 今回のコラムでは正四面体,正八面体,正二十面体の辺が中心においてなす角を求めてみたい

  cosc=cosa=cosb,C=A=B

ですから

  cosC=(cosc−cos^2c)/sin^2c

      =cosc/(1+cosc)

  C=arccos(cosc/(1+cosc))

 C=A=Bですから,A+B+C=3C.したがって,球面三角形ABCの面積S3は

  S3=3C−π

で与えられることがわかります.

 また,それぞれ,

  4S3=4π(全表面積)

  8S3=4π(全表面積)

  20S3=4π(全表面積)

ですから,

  C=2π/3(正四面体)→cosc=−1/3(109.5°で,ダイヤモンド結晶の隣りあった原子間の角度)

  C=π/2(正八面体)→cosc=0(90°)

  C=2π/5(正二十面体)→cosc=1/√5

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