［５］無限級数とフーリエ展開

　テイラー展開（ベキ級数展開）は連続な関数にしか適用できないが，フーリエ展開（三角級数展開）はたとえ不連続な関数でも存在するため，１９世紀の解析学に大きな貢献をしるした．

　−π＜ｘ＜πの周期関数と見なされる不連続関数ｆ（ｘ）＝ｘのフーリエ展開は

　　ｆ（ｘ）＝２［ｓｉｎｘ／１−ｓｉｎ２ｘ／２＋ｓｉｎ３ｘ／３−・・・］

　ｘ＝π／２とおくと，

　　π／４＝１−１／３＋１／５−１／７＋−・・・（グレゴリー・ライプニッツ級数）

また，ｘ＝π／４とおくと

　　π√２／４＝１＋１／３−１／５−１／７＋＋・・・

この式で，符号は２項毎に交代する．

　同様に，−π＜ｘ＜πの周期関数と見なすと，ｆ（ｘ）＝ｘ^2のフーリエ展開は

　　ｆ（ｘ）＝π^2／３−４［ｃｏｓｘ／１^2−ｃｏｓ２ｘ／２^2＋ｃｏｓ３ｘ／３^2−・・・］

　ｘ＝πとおくと，

　　π^2／６＝１／１^2＋１／２^2＋１／３^2＋・・・（オイラー級数）

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