地球上の緯線は２πＲｃｏｓφの長さであるが，地図上では２πＲに引き延ばされる．その際の拡張比は

　　２πＲ／２πＲｃｏｓφ＝ｓｅｃφ

である．そして，写像が等角であるためには，相似条件

　　Δｙ＝ＲｓｅｃφΔφ

を満たさなければならない．

　これを現代的に表記すると，微分方程式：

　　ｄｙ／ｄφ＝Ｒｓｅｃφ

の解：

　　ｙ＝Ｒ∫(0,φ)ｓｅｃｔｄｔ＝Ｒｌｎｔａｎ（π／４＋φ／２）

となるが，もちろん，メルカトールの時代は，ニュートンとライプニッツが微積分を発明するよりずっと前のことである．

　この解は平面投影のｔａｎ（π／４＋φ／２）を引き継いでいるが，これは偶然の一致ではない．複素関数論によれば，複素関数の写像は等角写像となり，複素対数関数

　　ｗ＝ｆ（ｚ）＝ｌｎｚ

は同心円と放射線よりなる極座標系を直交座標系に変換してくれるのである．

　メルカトールの地図には平面図法の性質が遺伝するので，正距図法とはならない．すなわち，地図上の任意の２つの点を結ぶ線分は測地線ではない．また，ｌｏｇがついている分，高緯度における歪みは円筒図法ほど誇張されにくいと思われるが，それでもグリーンランドは南アメリカより大きく表される（実際は１／９の大きさである）．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

北緯７２度の緯線上のグリーンランドの面積は

実際の面積よりも1/(cos72)^2=10.47倍も大きくなります。

その結果、南アメリカ大陸と同じくらいの面積を持つように見えるのです。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

cos72=1/(2τ)

1/(cos72)^2=4τ^2＝4:2.618=10.472

cos67.5=1/2・{2-√2}^1/2

1/(cos67.5)^2=4/（2-√2)=2(2+√2)=6.828

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝