■レムニスケート曲線の性質(その36)

[1]y=cとおくと

  x=2y(1−y^4)^1/2/(1+y^4)のとき,

  ∫(0,x)dx/(1−x^4)^1/2=2∫(0,y)dy/(1−y^4)^1/2

[2]n倍角の公式

  ∫(0,x)dx/(1−x^4)^1/2=n∫(0,y)dy/(1−y^4)^1/2

が成立するとき

u={y(1−y^4)^1/2+x(1−x^4)^1/2}/(1+x^2y^2)とおくと,n+1倍角の公式

  ∫(0,u)du/(1−u^4)^1/2

=∫(0,x)dx/(1−x^4)^1/2+∫(0,y)dy/(1−y^4)^1/2

=(n+1)∫(0,y)dy/(1−y^4)^1/2

が成立する.

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