■レムニスケート曲線の性質(その35)

  dx/(1−x^4)^1/2=dy/(1−y^4)^1/2

 したがって,

  x^2y^2+x^2+y^2−1=0

  dx/(1−x^4)^1/2=dy/(1−y^4)^1/2

の解である.

 さらに,一般解は

  c^2x^2y^2+x^2+y^2=c^2+2xy(1−c^4)

となる.

[1]c=0のとき,x^2+y^2=2xy

  これはx=yと同等である.

[2]c=1のとき,x^2y^2+x^2+y^2−1=0

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 これを解くと,

  x={y(1−c^4)^1/2+c(1−y^4)^1/2}/(1+c^2y^2)

  ∫(0,y)dy/(1−y^4)^1/2+∫(0,c)dc/(1−c^4)^1/2=∫(0,x)dx/(1−x^4)^1/2

となって,「レムニスケート積分の加法定理」が得られる.

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