■レムニスケート曲線の性質(その29)

 x=yは微分方程式

  dx/(1−x^4)^1/2=dy/(1−y^4)^1/2

の解のひとつであるが,

  x=−{(1−y^2)/(1+y^2)}^1/2

もこの微分方程式をみたす.

  dx=−1/2{(1−y^2)/(1+y^2)}^-1/2{−2y{1+y^2)−2y{1−y^2)}/(1+y^2)^2dy

  dx=−{(1+y^2)/(1−y^2)}^1/2{−2y/(1+y^2)^2}dy

  dx={(1−y^2)}^-1/2{2y/(1+y^2)^3/2}dy

 また,

  x^4={(1−y^2)/(1+y^2)}^2

  x^4=1−4y^2/(1+y^2)^2

  (1−x^4)^1/2=2y/(1+y^2)

を代入すると,

  dx/(1−x^4)^1/2=dy/(1−y^4)^1/2

 したがって,

  x^2y^2+x^2+y^2−1=0

  dx/(1−x^4)^1/2=dy/(1−y^4)^1/2

の解である.

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