■レムニスケート曲線の性質(その29)

 x=yは微分方程式

  dx/(1-x^4)^1/2=dy/(1-y^4)^1/2

の解のひとつであるが,

  x=-{(1-y^2)/(1+y^2)}^1/2

もこの微分方程式をみたす.

  dx=-1/2{(1-y^2)/(1+y^2)}^-1/2{-2y{1+y^2)-2y{1-y^2)}/(1+y^2)^2dy

  dx=-{(1+y^2)/(1-y^2)}^1/2{-2y/(1+y^2)^2}dy

  dx={(1-y^2)}^-1/2{2y/(1+y^2)^3/2}dy

 また,

  x^4={(1-y^2)/(1+y^2)}^2

  x^4=1-4y^2/(1+y^2)^2

  (1-x^4)^1/2=2y/(1+y^2)

を代入すると,

  dx/(1-x^4)^1/2=dy/(1-y^4)^1/2

 したがって,

  x^2y^2+x^2+y^2-1=0

  dx/(1-x^4)^1/2=dy/(1-y^4)^1/2

の解である.

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